2. Potencias y raíces

Las matemáticas siempre fueron una herramienta para resolver problemas cotidianos. ¿Cuánto mide este terreno? Cómo hemos de repartirnos la cosecha? ¿Cómo utilizar las estrellas para orientarnos?

Hasta el siglo VI a.C. no aparecen los primeros matemáticos teóricos, estudiosos interesados por la investigación y el desarrollo de la ciencia, independientemente de su utilidad práctica.

El primer gran teórico de las matemáticas fue Pitágoras. Este griego, gran viajero, acabó asentándose en el sur de Italia, donde fundó una secta místico-científica que rendía culto a la astronomía.

Tres siglos después aparece en escena Arquímedes, nacido en la colonia griega de Siracusa, en Sicilia (actual Italia). demás de gran matemático, fue un extraordinario calculista. Y gracias a esto, ideó un sistema para describir números enormes. Estaba basado en la potencias de base 10, que estudiarás en esta unidad.

Números cuadrados y números cúbicos

Ya hemos comentado que los pitagóricos, en sus investigaciones sobre las propiedades de los números, los relacionaron con la geometría. Así hablaban de los números cuadrados y de los números cúbicos. A continuación puedes ver los primeros de unos y de otros:

NÚMEROS CUADRADOS

NÚMEROS CÚBICOS

Escribe los tres términos siguientes de cada una de las series anteriores.

Calcula A100 y B100.

Suma de impares

Observa y comprueba la siguiente relación pitagórica:

Cualquier número cuadrado se puede expresar como suma de unos cuantos de los primeros números impares.

Según esto, calcula:

a) La suma de los siete primeros números impares.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

b) La suma de los diez primeros números impares (S10).

¿Cómo calcularías, de forma rápida y sencilla, la suma de los cien primeros impares?

S100 = 1 + 3 + 5 + + 199

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:

a · a · a · a · a = a⁵

En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.

Concepto de potencia.

Ejemplos

Expresar cada producto en forma de potencia:

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ → Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta.

b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵ → Dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta.

Calcular estas potencias.

a) 7³ = 7 · 7 · 7 = 343

b) 10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000

Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo

Elevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.

Por ejemplo: 7² = 7 · 7 = 49 → El cuadrado de 7 es 49.

Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.

Por ejemplo: 7³ = 7 · 7 · 7 = 343 → El cubo de 7 es 343.

Las potencias en la calculadora

Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados números grandes.

Por ejemplo:

9⁶ = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = ... = 531 441

Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una calculadora.

En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas e .

En una calculadora científica, utilizaremos la tecla .

NOTA: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calculadoras sencillas dan error mientras que las científicas lo dan en formatos como este:

que significa que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 13 veces por 10 (esto es, desplazar la coma decimal 13 lugares a la derecha).

Números y geometría

EL CUADRADO

El cuadrado de 5 es 52= 5 · 5 = 25
(25 cuadraditos).

EL CUBO

El cubo de 5 es 53= 5 · 5 · 5 = 125
(125 cubitos).

¿Cómo representarías geométricamente los números 32 y 33? ¿Serías capaz de idear una forma de representar también 34?

Practica el concepto de potencia y algunos cálculos sencillos.

Expresa con una potencia.

a) 6 · 6=

c )7 · 7 =

e) 10 · 10 · 10 =

g) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =

b) 6 · 6 · 6=

d) 5 · 5=

f) 4 · 4 · 4 · 4=

h) 10 · 10 · 10 · 10 · 10=

Lee estas potencias y exprésalas como producto:

a) 3⁴=

c) 9³=

e) 10⁶=

b) 2⁷=

d) 15²=

f) 20⁴=

Completa la tabla.

Potencia	Base	Exponente
2⁶
	5	3
a⁴
	m	5

Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor.

a) 2³=

b) 5²=

c) 4³=

d) 20³=

e) 10⁴=

f) 11²=

Calcula .

a) 2⁸=

c) 12³=

e) 15² =

g) 12³ =

i) 100³ =

b) 3⁵ =

d)9⁴ =

f) 85²=

h) 30⁴=

Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora:

a) 11⁵=

c) 37⁴ =

e) 101⁴ =

b) 62³=

d) 136³=

f) 140⁴=

Escribe el valor de cada exponente:

a) 2^x= 64 x =

b) 3^y = 81 y =

c)6^z= 3 z =

d) 8^m = 512 m =

e) 10ⁿ = 10 00 n =

f) 30^t = 810 000 t =

Calcula el valor de la base, a, en cada caso:

a) a⁴= 16 a =

b) a² = 25 a =

c) a³ = 64 a =

d) a⁴ = 2 401 a =

e) a³ = 1 000 a =

f) a¹⁰= 1 024 a =

Escribe los cuadrados de los veinte primeros números naturales.

Calcula expresando el proceso paso a paso.

a) 8²+ 8 =

b) 3³ – 3² =

c) 5³ – 5² + 5 =

d) (9²– 7²)+ 4²=

e) (26 – 24)⁵ – 2⁴=

f) (82 – 72)²– 2 · 10² – 25 =

¿Verdadero o falso?

a) Elevar un número al cubo es igual que multiplicarlo por sí mismo tres veces. →

b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro. →

c) El cuadrado de 10 es 20. →

d) El cubo de 10 es 1 000. →

e) Trece a la quinta es igual que cinco elevado a trece. →

Álvaro dibuja tres cuadrados, uno de 5 cm de lado, otro de 12 cm de lado y el tercero de 13 cm de lado. Después colorea de rojo los dos primeros y de verde el último. ¿Qué superficie es mayor, la verde o la roja?

Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados, uno de diez cuadrados de lado y otro de cinco.

¿Hay en el primero el doble de cuadrados que en el segundo? Explica tu respuesta.

Estos edificios tienen el mismo número de ventanas en todas sus caras. Expresa con una potencia de base cinco, y calcula, cuántas hay en total.

Expresa con potencias el número de cubos unitarios que hay en cada construcción poli-cubo:

Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Así:

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Reflexiona

¿Qué es más cómodo de escribir y de interpretar?

Expresión abreviada de números grandes

Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un número por una potencia de base 10.

Por ejemplo: 400 000 = 4 · 100 000 = 4 · 10⁵

Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes.

Ejemplo

Un año luz: 9 460 800 000 000 km. Observa las transformaciones que hacemos para que esta cantidad sea más fácil de leer, de escribir y de recordar:

Redondeamos, dejando dos cifras significativas → 9 500 000 000 000
Descomponemos en producto → 95 · 100 000 000 000
Expresamos el segundo factor como una potencia de base 10 → 95 · 10¹¹

Un año luz equivale a 95 · 1011 km.

Practica la aproximación de números grandes utilizando potencias de base 10.

Descomposición polinómica de un número

La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras, y lo que has aprendido sobre las potencias de base 10, permiten la transformación que muestra el ejemplo siguiente. Es la descomposición polinómica del número.

Escribe como potencias de base 10.

a) Un millar.

b) Un millón.

c) Mil millones.

d) Un billón.

Expresa con todas sus cifras.

a) 4 · 10⁵ =

b) 15 · 10⁹ =

c) 86 · 10¹⁴ =

Escribe el valor de x en cada caso:

a) 2 936 428 ≈ 29 · 10^x x=

b) 3 601 294 835 ≈ 36 · 10^x x=

c) 19 570 000 000 000 ≈ 20 · 10 ^x x=

Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 74 238

b) 680 290

c) 4 528 92

d) 46 350 000

Escribe en notación abreviada los datos que siguen:

a) El número de moléculas elementales en un litro de agua es 334 326 000 000 000 000 000 000.

b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarenta billones de kilómetros del Sol.

Vas a aprender ahora algunas propiedades que facilitan el cálculo con potencias. Por eso, es conveniente que las entiendas, las memorices y ensayes su aplicación en diferentes situaciones.

Potencia de un producto
(Producto de potencias con el mismo exponente)

Compara las dos expresiones siguientes y observa que en ambas se obtiene el mismo resultado.

(2 · 3⁾³= 6³ = 6 · 6 · 6 = 216
2³ · 3³= (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216

O también:

2³ · 3³ = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)³

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. → (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

No te confundas

(2 + 3)4= 54 = 625
24+ 34 = 16 + 81 = 97
(2 + 3)4≠ 24+ 34

La potencia de una suma (o una resta) NO ES IGUALa la suma de las potencias de los sumandos.

(a+ b)n≠ an+ bn
(a– b)n≠ an– bn

Potencia de un cociente
(Cociente de potencias con el mismo exponente)

Observa otras dos expresiones que también tienen el mismo valor.

(6 : 3)³= 2³ = 2 · 2 · 2 = 8
6³: 3³= (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8

O también:

6³ : 3³ = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)³

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. → (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Ejercicios resueltos

1. Calcular, por el camino más sencillo, 5 ⁶ · 2 ⁶.	Antes de operar sin más, observamos que es un producto de potencias con el mismo exponente. Aplicamos la primera propiedad: 5⁶ · 2⁶= (5 · 2)⁶= 10⁶= 1 000 000
2. Buscar la forma más sencilla para calcular 12 ³ : 4 ³.	Vemos que es un cociente de potencias con el mismo exponente. Ahorramos operaciones si aplicamos la segunda propiedad: 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27
3. Calcular (6 ⁴ · 5 ⁴) : 15 ⁴.	Aplicamos la primera propiedad dentro del paréntesis: 6⁴ · 5⁴ = (6 · 5)⁴ = 30⁴ A continuación, la segunda propiedad: 30⁴ : 15⁴ = (30 : 15)⁴ = 2⁴ Y lo presentamos todo, en conjunto, así: (6⁴ · 5⁴) : 15⁴ = (6 · 5)⁴ : 15⁴ = 30⁴ : 15⁴ = (30 : 15)⁴= 2⁴= 2 · 2 · 2 · 2 = 16

1. Calcular, por el camino más sencillo, 5 ⁶ · 2 ⁶.

Antes de operar sin más, observamos que es un producto de potencias con el mismo exponente. Aplicamos la primera propiedad:

5⁶ · 2⁶= (5 · 2)⁶= 10⁶= 1 000 000

2. Buscar la forma más sencilla para calcular 12 ³ : 4 ³.

Vemos que es un cociente de potencias con el mismo exponente. Ahorramos operaciones si aplicamos la segunda propiedad:

12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27

3. Calcular (6 ⁴ · 5 ⁴) : 15 ⁴.

Aplicamos la primera propiedad dentro del paréntesis: 6⁴ · 5⁴ = (6 · 5)⁴ = 30⁴

A continuación, la segunda propiedad: 30⁴ : 15⁴ = (30 : 15)⁴ = 2⁴
Y lo presentamos todo, en conjunto, así:

(6⁴ · 5⁴) : 15⁴ = (6 · 5)⁴ : 15⁴ = 30⁴ : 15⁴ = (30 : 15)⁴= 2⁴= 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Producto de potencias de la misma base

Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.

Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores.

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes. → a^m· aⁿ = a^m + n

Practica el producto de potencias de la misma base.

Cociente de potencias de la misma base

Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, tenemos que:

Observa que el exponente de cada cociente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes. → a^m : aⁿ = a^m – n

Practica el cociente de potencias de la misma base.

Potencia de otra potencia

Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base.

(5⁴)³ = 5⁴ · 5⁴ · 5⁴ = 5^{4 + 4 + 4}= 5^4 · 3= 5¹²

Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión inicial.

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. → (aⁿ)^m = a^n · m

Practica la potencia de otra potencia.

Practica las operaciones con potencias.

1. Calcular, con la ayuda de las propiedades: (8³)² : (8³ · 8²)	En el primer paréntesis aplicamos la potencia de otra potencia: (8³)² = 8^3 · 2 = 8⁶ Y en el segundo, el producto de potencias de la misma base: 8³· 8² = 8^3 + 2 = 8⁵ Y terminamos restando exponentes para dividir dos potencias de la misma base: (8³)² : (8³ · 8²) = 8⁶: 8⁵ = 8^6 – 5= 8¹= 8
2. Reducir a una sola potencia. (a² · a)⁴ : (a⁶ : a³)³	Reducimos los paréntesis, aplicando el producto y el cociente de potencias de la misma base: (a^2 + 1)⁴: (a^6 – 3)³ = (a³)⁴: (a³)³ Avanzamos aplicando la potencia de otra potencia: a^{3 · 4} : a^{3 · 3} = a¹² : a⁹ Y terminamos con el cociente de potencias de la misma base: a^12 – 9 = a³ Resumiendo: (a² · a)⁴: (a⁶: a³)³ = (a³)⁴ : (a³)³= a¹² : a⁹= a^12 – 9 = a³

1. Calcular, con la ayuda de las propiedades:

(8³)² : (8³ · 8²)

En el primer paréntesis aplicamos la potencia de otra potencia: (8³)² = 8^3 · 2 = 8⁶

Y en el segundo, el producto de potencias de la misma base: 8³· 8² = 8^3 + 2 = 8⁵

Y terminamos restando exponentes para dividir dos potencias de la misma base:

(8³)² : (8³ · 8²) = 8⁶: 8⁵ = 8^6 – 5= 8¹= 8

2. Reducir a una sola potencia.

(a² · a)⁴ : (a⁶ : a³)³

Reducimos los paréntesis, aplicando el producto y el cociente de potencias de la misma base: (a^2 + 1)⁴: (a^6 – 3)³ = (a³)⁴: (a³)³

Avanzamos aplicando la potencia de otra potencia: a^{3 · 4} : a^{3 · 3} = a¹² : a⁹

Y terminamos con el cociente de potencias de la misma base: a^12 – 9 = a³

Resumiendo: (a² · a)⁴: (a⁶: a³)³ = (a³)⁴ : (a³)³= a¹² : a⁹= a^12 – 9 = a³

Potencia de exponente cero

Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo 5³, entre sí misma:

Aplicando la propiedad del cociente → 5³ : 5³= 5^3 – 3 = 5⁰ → 5⁰ = 1
Aplicando el cálculo habitual → 5³ : 5³ = 125 : 125 = 1 → 5⁰ = 1

Así, a 5⁰le asignamos el valor 1.

La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno. → a^{0 = 1}(a ≠ 0)

Por ejemplo:

2⁰= 1 8⁰ = 1 10⁰ = 1 34⁰ = 1

Practica las operaciones con potencias.

Completa , como en el ejemplo.

(4 ·3)² = 12² = 144

4² · 3² = 16 · 9 = 144
↓

(4 · 3 )² = 4² · 3²

a) (3 · 5)² =

3² · 5²=

↓

c) (12 : 3)² =

12² : 3²=

↓

b) (4 · 2)³ =

4³ · 2³=

↓

d) (20 : 4)³ =

20³ : 4³=

↓

Reflexiona y calcula de la forma más sencilla.

a) 5³ · 2³=

c) 25² · 4² =

e) 16⁵ : 8⁵ =

g) 21⁴ : 7⁴ =

i) 100³ : 50³ =

b) 4²· 5²=

d) 20³ · 5³=

f) 18³ : 6³ =

h) 35² : 5²=

Calcula.

a) (2⁵ · 3⁵) : 6⁵ =

c) (80³ : 8³) : 5³ =

e) (8² · 12²) : (6²· 8²) =

b) (6⁴· 3⁴) : 9⁴ =

d) (48² : 2²) : 6² =

f) (3³ · 4³) : (20³ : 5³) =

Calcula y observa que los resultados no coinciden.

a) (6 + 4)²= 6² + 4²=

b) (5 + 2)³ = 5³+ 2³=

Sustituye cada casilla por el signo “= o “≠, según corresponda:

a) (4 + 1)³ 4³ + 1³

b) (4 + 1)³ 5³

c) (6 – 2)⁴ 6 ⁴– 2⁴

d) 7³ (10 – 3)³

e) 10² 5² · 2²

f)10⁴ 5² · 2²

g) (12 : 3)² 12² : 3²

h) 12⁷ : 3² 4⁵

Reduce a una sola potencia.

a) 5² · 5² =

c) 10⁵ · 10² =

e) m⁷ · m =

b) 3² · 3⁵ =

d) a⁵ · a⁵ =

f ) x² · x⁶ =

Expresa con una única potencia.

a) (5²)³ =

c) (10³)³ =

e) (m²)⁶ =

b) (2⁵)² =

d) (a⁵)³ =

f ) (x⁴)⁴ =

Reduce a una única potencia.

a) 2⁶ : 2² =

c) 10⁷ : 10⁶ =

e) (m²)⁶ =

b) 3⁸ : 3⁵ =

d) a¹⁰ : a⁶ =

f ) (x⁴)⁴ =

Reduce.

a) x · x² · x³ =

c) (k⁹ : k⁵) : k³ =

e) m⁶ : (m⁸ : m⁴) =

g) (x²)⁵ : x⁷ =

i) (k²)⁶ : (k³)⁴ =

b) m² · m⁴ · m⁴ =

d) (x⁵ : x³) : x² =

f ) (k² · k⁵) : k⁶ =

h) m¹⁰ : (m³)³ =

j) (x⁵ : x³)² =

Resuelve estas expresiones con operaciones combinadas:

a) 6²+ 2² – 2² + 5

b) 2⁴ – 3⁸ : 3⁶ – 2²

c) 10 + (5²)³ : (5³)²

d) (10⁵ : 5⁵) – (2²· 2²)

e) [(8 – 5)² · (9 – 6)³] : 3⁵

f) [(7 – 4)³ – (9 – 4)²]⁴

Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.

b² = a ⟷ √a =b

Ejemplos

4² = 16 → √16 = 4 → La raíz cuadrada de 16 es 4.
15² = 225 → √225 = 15 → La raíz cuadrada de 225 es 15.

Raíces exactas y raíces enteras

Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos:

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.

Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes:

√9 = 3 √121 =11 √400 = 20

Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras.

Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40:

No lo olvides

Te conviene memorizar los primeros cuadrados perfectos.

Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.

√40 ≈ 6 → La raíz entera de 40 es 6.

Ejercicios resueltos

Calcular mentalmente √900.

x2 = 900 → 302 = √900 → = 30 → Raíz exacta

372 = 1 369
382 = 1 444
392 = 1 521
402 = 1 600

Teniendo en cuenta los datos del cuadro, calcular , y √1440, √1444 y √1580.

√1440 → Raíz entera

√1444→ Raíz exacta

√1580→ Raíz entera

Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo

Con lo que ya sabes, puedes calcular raíces mediante el tanteo. Esta técnica te ayudará a aclarar ideas y a fijar el concepto. Más tarde aprenderás otras técnicas más rápidas.

Ejemplo

Calcular, por tanteo, √3 900 .

Por tanto: 62 <√ 3 900 < 63

La raíz cuadrada de 3 900 es un número comprendido entre 62 y 63.

√3900 ≈ 62 → La raíz entera de3 900 es 62.

Practica el cálculo de la raíz entera.

Copia y completa, como en el ejemplo.

√ 25 = 5 → La raíz de 25 es igual a 5.

a) √ 49 = 7 →

b) √64 = →

c) √81 = →

d) √121 = →

Calcula mentalmente.

a) √4 =

d) √400 =

g) √6 400 =

b) √9 =

e) √900 =

h) √8100 =

c) √36 =

f ) √3 600 =

i) √10 000 =

Calcula la raíz entera en cada caso:

a) √5 =

d) √32 =

g) √68 =

b) √10 =

e) √39 =

h) √92 =

c) √24 =

f ) √50 =

i) √105 =

Escribe los cuadrados perfectos comprendidos entre 200 y 900.

Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior.

a) √289 =

c) √2 725 =

e) √2 916 =

b) √2 601 =

d) √2 815 =

f ) √2 929 =

Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es exacta o entera.

50² = 2 500	51² = 2 601	52² = 2 704
53² = 2 809	54² = 2 916	55² = 3 025

a) √2 550 =

c) √2 725 =

e) √2 916 =

b) √2 601 =

d) √2 815 =

f ) √2 929 =

Calcula por tanteo.

a) √90 =

c) √700 =

e) √6 816 =

b) √150 =

d) √1521 =

f ) √10 816 =

Resuelve.

a) √121 – √100 + √81

b) (4 · √25 – 5 · √9) : 5

c) √4³ – 2⁵ – √5² + 7

d) (8 – 6)⁶ : √4⁴

Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada

Para calcular con lápiz y papel una raíz cuadrada, sigue los pasos que se describen a continuación:

Ejemplo

Vamos a calcular : $estilo tamaño 14px raíz cuadrada de 105674 fin estilo$ :

1 Separamos de dos en dos, desde la derecha, las cifras del radicando, y calculamos la raíz del paquete de la izquierda (√10...).

2 Bajamos el paquete siguiente (56) y buscamos la cifra $envoltorio caja c$ , de forma que 6 $envoltorio caja c espacio multiplicación en cruz espacio envoltorio caja c$ sea lo más próximo a 156, sin sobrepasarlo.

3 Subimos el valor $envoltorio caja c$ = 2 al campo de la solución, bajamos el siguiente paquete (74) y repetimos el proceso.

4 Subimos el valor d = 5 al campo de la solución.

Solución:

$estilo tamaño 14px raíz cuadrada de 105674 fin estilo$ = 325

Prueba: 325² + 49 = 105 674

Utiliza la calculadora

En algunas calculadoras, la sucesión de teclas para calcular $estilo tamaño 14px raíz cuadrada de 105674 fin estilo$ es:
En otras, es la siguiente:

Practica el algoritmo de la raíz cuadrada.

Completa las siguientes raíces resueltas mediante el algoritmo:

Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la calculadora.

a) √1444

c) √2 945

e) √20 164

b) √2 025

d) √3 974

f ) √126 782

Obtén con ayuda de la calculadora.

a) √2 936 =

b) √10 568 =

c) √528 471 =

Cálculo de potencias

Calcula mentalmente.

a) 2⁴b) 6³ c) 3⁵ d) 20⁴ d) 30⁰

Completa.

a) ³ = 8 000

c) ⁴ = 10 000

b) ² = 4 900

d) ⁴ = 160 000

Calcula el exponente en cada caso:

a) 2^x = 256 → x =

c) 7^x = 2 400 → x =

b) 10^x = 10 000 → x =

d) 13^x = 2 197 → x =

Calcula con lápiz y papel.

a) 5⁵ b) 9⁵ c) 11⁰ d) 15³ e) 16⁴

Obtén con la calculadora.

a) 4¹² =

b) 5¹⁰=

c) 45³ =

d) 67⁴=

d) 99³ =

Escribe todos los cuadrados perfectos comprendidos entre 1 000 y 1 500.

Potencias de base 10.
Expresión abreviada de números grandes

Escribe con todas sus cifras.

a) 10²=

b) 10⁶=

c) 10¹⁰ =

d) 10¹² =

d) 10¹⁶ =

Escribe como potencia de base 10.

a) Cien. →

c) Cien billones. →

b) Cien millones. →

d) Cien mil billones. →

Expresa con todas sus cifras.

a) 13 · 10⁷ =

b) 34 · 10⁹ =

c) 62 · 10¹¹ =

Transforma como el ejemplo.

180 000 = 18 · 10⁴

a)5 000 = · b)1 700 000 = · c)4 000 000 000 = ·

En un kilómetro hay 10 ³ = 1 000 metros, y en un metro hay 10² = 100 centímetros.

Expresa, de la misma forma, los centímetros que hay en un kilómetro.

Redondea a la centena de millar y escribe abreviadamente con el apoyo de una potencia de base 10 el número de habitantes de cada una de estas ciudades:

ROMA: 2 823 201

MADRID: 3 234 359

PARÍS: 11 837 743

EL CAIRO: 16 248 530

Ordena, de menor a mayor, estas cantidades:

Escribe en la notación abreviada, con ayuda de una potencia de base 10.

a) Ocho mil quinientos millones. →

b) Dos billones, trescientos mil millones. →

c) Cuatro trillones, novecientos mil billones. →

Operaciones con potencias

Calcula.

a) 7² – 6² + 5² – 4²

b) (5 – 4 + 2 – 1)³

c) (10 – 6)² – (10 – 8)³

d) 3⁴ – (5 – 3)² – (23)²

e) (13 – 3)² · (7 + 3)² + (15 – 5)² · 10

Calcula de la forma más sencilla.

a) 8² · 5²

b) 2⁶ · 5⁶

c) 25³ · 4³

d) 6⁵ : 3⁵

e) 15³ : 5³

f) 20⁴ : 5⁴

Completa las casillas vacías.

a) 5² · 5³ = 5

c) a⁵ · a³ = a

e) 2⁶ : 2⁴ = 2

g) a⁹ : a⁸ = a

i) (4²)³ = 4

k) (a²)² = a

b) 6⁴ · 6³ = 6

d) m³ · m = m⁹

f ) 7⁸ : 7⁵ = 7

h) m⁸ : m = m⁶

j) (5³)³ = 5

l) (m⁴) = m¹²

Reflexiona sobre estos enunciados y tradúcelos a igualdades o desigualdades matemáticas:

a) Potencia de un producto. ↔ Producto de las potencias de los factores.

b) Potencia de una suma. ↔ Suma de las potencias de los sumandos.

c) Producto de potencias de igual base. ↔ La misma base elevada a la suma de exponentes.

d) Potencia de potencia. ↔ La misma base elevada al producto de los exponentes.

e) Potencia de exponente cero. ↔ Uno.

Reduce estas expresiones:

a) x⁸ : x³ =

c) (k²)⁴ =

e) (m³)² =

b) m⁴ · m² =

d) x⁵ · x⁵ =

f ) k⁶ : k⁴ =

Calcula.

a) 36⁴ : (2⁴ · 9⁴)

b) (2⁴ · 2⁵) : 2⁹

c) (15⁵ : 5⁵) : 3³

d) 12⁹ : (4⁷ · 3⁷)

e) (4³ · 4⁵) : (4⁴ · 4²)

f) (30⁷ : 5⁷) : (2⁵ · 3⁵)

Reduce a una sola potencia.

a) (x⁵ : x) · x²

b) (m⁷ : m⁴) : m³

c) (x²)⁴ : (x²)³

d) (m⁴)³ : (m⁵)²

e) (a³ · a⁵) : (a · a⁴)

f) (x³ : x²) · (x⁴ · x³)

Ejercicio resuelto

Reducir a una sola potencia y, después, calcular:

16⁴ : 4⁵

16⁴ : 4⁵ = (4²)⁴ : 4⁵ = 4⁸ : 4⁵ = 4^8 – 5= 4³ = 6⁴

Reduce a una sola potencia y, después, calcula.

a) 2¹⁰ : 4⁴

b) 3⁶ : 9²

c) 25³ : 5⁴

d) (2³ · 4²) : 8

e) (3⁴ · 9²) : 27²

f) (5⁵ · 5³) : 25³

Raíz cuadrada

Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera.

a) √90 = b) √121 = c) √1785 =

Resuelve con la calculadora.

a) √655 =

c) √1369 =

e) √12 664 =

b) √1024 =

d) √4 225 =

f ) √33 856 =

Copia los cuadrados perfectos:

1 000 1 225 1 600 1 724 1 601 2 464

3 364 3 540 3 773 3 844 4 000 5 625

Resuelve.

a) √ 5² + 12² – (5√ 2)²

b) (√2)⁴ + (√3)² - 5⁰

Aprende a resolver problemas

Marta ha comprado cinco hojas con cuarenta pegatinas cada una y ha decorado el cubo pequeño. ¿Le quedan suficientes pegatinas para decorar de la misma forma el cubo grande?

Comprueba que has entendido el enunciado.

¿Cuántas pegatinas ha comprado Marta? ¿Ha usado alguna?

¿Qué quiere hacer con las que quedan? ¿Qué te preguntan?

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

¿Por dónde te parece que debes empezar?

— Creo que comenzaré calculando cúantas pegatinas compró: 5 hojas de 40 pegatinas → 5 · 40 = 200 pegatinas compró.

¿Te vendría bien saber cuántas pegatinas ha gastado ya? ¿Cuántas le quedan entonces?

— Ha decorado un cubo de 6 caras, y en cada cara ha usado 3² = 9 pegatinas: Pegatinas usadas: 9 · 6 = 54 pegatinas. Por tanto, le quedan 200 – 54 = 146 pegatinas.

¿Y cómo decides ahora si las 146 pegatinas que le quedan son suficientes para decorar el cubo grande?

— Primero tengo que saber cuántas necesita para el cubo grande, que tiene 6 caras con 6 · 6 cuadraditos por cara:

Necesita 6 · 6 · 6 = 63 = 216 pegatinas, que son más que 146. ¡No tiene suficientes!

Solución: A Marta no le quedan suficientes pegatinas para decorar el cubo grande

Resuelve problemas

Un hortelano planta lechugas en una parcela de su huerta. Las distribuye en 25 surcos y en cada surco pone 25 lechugas. ¿Cuántas plantas ha colocado?

Un cine de verano dispone de 625 sillas distribuidas en igual número de filas y de columnas. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?

Una finca cuadrada tiene 900 metros cuadrados de superficie. ¿Cuántos metros lineales de alambrada habría que comprar para cercarla?

Un paquete de igual longitud, anchura y altura, contiene 1 000 terrones de azúcar de un centímetro de arista. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete?

Supón que construimos estas dos estructuras con cubos de madera de 1 cm de arista (¡Ojo! Los dibujos no están hechos con la misma proporción):

a) Una placa cuadrada de 1 000 cm de lado.

b) Un bloque cúbico de1 000 cm de lado.100 cm de arista.

¿Cuál de las dos crees que pesaría más? Razona tu respuesta.

¿Cuántos padres y madres tenían entre todos tus tatarabuelos?

Observa el cubo de la ilustración formado por 5 × 5 × 5 cubitos unitarios.

a) Supón que lo pintamos de rojo. ¿Cuántos cubitos unitarios habrían quedado parcialmente pintados?

b) Supón que lo queremos hacer mas grande, recubriéndolo completamente con una capa de cubitos verdes. ¿Cuántos cubitos verdes necesitaríamos?

Problemas “+”

Se ha solado una habitación de 6 m × 6 m con baldosas cuadradas que se venden en paquetes de 12. ¿Cuál es el tamaño de las baldosas, sabiendo que se han necesitado 34 paquetes, que no se ha partido ninguna, y que han sobrado unas pocas?

Si han comprado 12 · 34 = 408 baldosas, ¿cuántas filas de baldosas se han colocado?

Alberto les cuenta un cotilleo a sus amigos Nacho y Sara.

Diez minutos después, Nacho se lo ha contado ya a Raquel y a Marta, y Sara, a Rosa y a Pablo.

Pasados otros diez minutos, cada uno de estos últimos se lo ha contado a otras dos personas.

Si la difusión del cotilleo sigue al mismo ritmo, ¿cuántas personas lo sabrán dos horas después de que se enteraran Nacho y Sara?

El suelo de una habitación cuadrada está enlosado con 484 baldosas de 15 cm de lado. Son todas blancas, excepto las que están a 15 cm de la pared, que forman un marco decorativo de color rojo como se ve en este dibujo:

¿Cuántas baldosas rojas hay en ese suelo?

Lee, reflexiona y deduce

El mundo de los números presenta múltiples relaciones, algunas tan sorprendentes que parecen envueltas en una aureola de magia. Como ejemplo, te mostramos las siguientes:

En la suma de los números impares, encontramos la suma de los números cúbicos:

Averigua qué porción de la suma anterior has de tomar para obtener 5³ = 125.

Como consecuencia de lo anterior, y teniendo en cuenta esto que vimos en las primeras páginas de la unidad:

6² = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

aparece una sorprendente relación entre algunos números cuadrados y los números cúbicos:

6² = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 1³+ 2³ + 3³

6² = 36 = (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³

Comprueba que 13 + 23 + 33 + 43 es igual a un número cuadrado.
Busca otro número cuadrado que se pueda expresar como suma de cubos.

Infórmate

Números en las computadoras

Ya sabes que nosotros, para escribir los números, utilizamos el sistema decimal, con diez signos, del 0 al 9.

Los ordenadores y las calculadoras, en su lenguaje interno, escriben los números en el sistema binario; es decir, utilizando solo dos signos, el 0 y el 1.

Estudia y completa las tablas en tu cuaderno, siguiendo la lógica de las primeras filas. Cuando hayas terminado, habrás traducido al sistema binario los primeros quince números naturales.

	ÓRDENES DE UNIDADES
	2³	2²	2¹	2⁰
	8	4	2	1
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7

	ÓRDENES DE UNIDADES
	2³	2²	2¹	2⁰
	8	4	2	1
8
9
10	1	0	1	0
11
12
13
14
15	1	1	1	1

Entrénate resolviendo problemas

Tantea, ponte ejemplos

Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de naranja; otra, caramelos de limón, y la tercera contiene una mezcla de caramelos de naranja y de limón. Están etiquetadas con estas referencias, pero ninguna caja lleva la etiqueta que le corresponde.

NN → Solo caramelos de naranja. LL → Solo caramelos de limón. NL → Caramelos de naranja y de limón.

Raquel dice que si me da una caja y yo saco un caramelo y se lo enseño, puede adivinar el contenido de todas las cajas.

Si crees que es cierto lo que dice Raquel, explica cómo lo consigue.

Divide esta figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

Autoevaluación

Expresa en forma de potencia

a) 5 · 5 · 5 · 5 =

b) 10 · 10 · 10 =

c) a · a · a · a · a =

d) m · m =

Calcula.

a) 2⁶ = b) 5³ =

c) 7² = c) 10⁶ =

Completa.

a) 2 = 8 b) ² = 81

Completa esta tabla.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.
Para dividir...	a^m : aⁿ = a^{m – n}

Reduce a una sola potencia.

a) a³ · a² = b) x⁵ : x⁴ = c) (a³)⁴ =

Calcula por el camino más corto.

a) 2⁴ · 5⁴

b) 18³ : 9³ =

Completa.

a) x³ · y³= ( · ) b) x⁴ : y⁴ = ( : )

Reduce.

a) (x⁵ · x²) : x 4

b) (a⁵)² : (a²)³

Completa.

a) √36 = b) √400 = c) √10000 =
d) √ = 3 e) √ =8 f ) √ = 30

Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada entera de 2 920. Después, comprueba con la calculadora si el resultado es correcto.

¿Cuántos dados de madera, de 1 cm de arista, hay en 10 paquetes como el que ves en la ilustración?

,
has completado el tema!

A continuación te mostramos el tiempo empleado y el número de aciertos.

Tiempo Utilizado

Calificación

¿Cómo podemos ayudarte?

¿No has solucionado tu duda?

Describe con el mayor detalle posible tu pregunta:

Números cuadrados y números cúbicos

Suma de impares

1 Potencias

Ejemplos

Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo

Las potencias en la calculadora

2 Potencias de base 10. Aplicaciones

Expresión abreviada de números grandes

Descomposición polinómica de un número

3 Operaciones con potencias

Potencia de un producto (Producto de potencias con el mismo exponente)

Potencia de un cociente (Cociente de potencias con el mismo exponente)

Ejercicios resueltos

Producto de potencias de la misma base

Cociente de potencias de la misma base

Potencia de otra potencia

Potencia de exponente cero

4 Raíz cuadrada

Raíces exactas y raíces enteras

Ejercicios resueltos

Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo

Ejemplo

Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada

Ejemplo

Ejercicios y problemas

Cálculo de potencias

Potencias de base 10. Expresión abreviada de números grandes

Operaciones con potencias

Raíz cuadrada

Aprende a resolver problemas

Resuelve problemas

Problemas “+”

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Números en las computadoras

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Potencia de un producto
(Producto de potencias con el mismo exponente)

Potencia de un cociente
(Cociente de potencias con el mismo exponente)

Potencias de base 10.
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Problemas “+”

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