Uso de cookies

Utilizamos Cookies para mejorar y analizar tu experiencia de navegación en nuestro sitio web. Puedes aceptarlas todas, rechazarlas o elegir tu configuración pulsando los botones correspondientes. Ten en cuenta que rechazar las cookies puede afectar a tu experiencia de navegación. Para más información puedes consultar nuestra Política de Cookies.

Configurar las cookies

Las cookies son una parte esencial de cómo funciona nuestra web. El objetivo principal de las cookies es que tu experiencia de navegación sea más cómoda y eficiente y poder mejorar nuestros servicios y la propia web.
Aquí podrás obtener toda la información sobre las cookies que utilizamos y podrás activar y/o desactivar las mismas de acuerdo con tus preferencias, salvo aquellas Cookies que son estrictamente necesarias para el funcionamiento de la web. El bloqueo de algunas cookies puede afectar tu experiencia en la web y el funcionamiento de la misma. Para más información puedes visitar nuestra Política de Cookies.

Cookies estrictamente necesarias (técnicas)

Estas Cookies son necesarias para que el sitio web funcione y no se pueden desactivar en nuestros sistemas. Por lo general, solo se establecen en respuesta a aquellas acciones que puedas realizar como una solicitud de servicios, establecer tus preferencias de privacidad, iniciar sesión o completar formularios. Puedes configurar tu navegador para que bloquee o te avise sobre estas cookies, pero algunas partes del sitio web no funcionarán. Información sobre las Cookies

Cookies analíticas

Estas Cookies nos permiten contabilizar el número de visitas y las fuentes de tráfico para que podamos medir y mejorar el rendimiento de nuestro sitio. Nos ayudan a saber que paginas son las más populares y menos populares, y ver como los visitantes se mueven por el sitio web. Toda la información que recopilan estas Cookies es agregada por lo tanto, anónima. Si no permites estas Cookies no sabremos cuándo visitaste nuestro sitio web. Información sobre las Cookies

Cookies a terceros

Estas cookies se utilizan para el análisis de tu actividad con el fin de mostrarte anuncios personalizados. Información sobre las Cookies

Acepto Rechazar Configurar las cookies Confirmar selección

tester
Buscar...
×
Notas
Buscar...
No hay notas
  • 1. Fracciones y decimales > 1. Fracciones y decimales
  • Para personalizar Lápiz pulsa Alt + flecha hacia abajo
  • Para personalizar Subrayador pulsa Alt + flecha hacia abajo

    Cambiar tema

    Error - verifique su conexión a internet...
    Volver

    Blink Help

    x
    Error - verifique su conexión a internet...

    FAQ

    Sin resultados

    Ver manual completo

    ¿No has solucionado tu duda?

    Describe con el mayor detalle posible tu duda. Indícanos el libro, la clase, dispositivo de acceso, código de licencia, usuario afectado y navegador o si te ocurre en la app:

    Grosor:
    Tamaño del texto:
    Filtrar
      No se han encontrado recursos
      Modo revisión

      Modo revisión

      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

       

      P

      Uso de fracciones sexagesimales

      En la antigua Mesopotamia escribían los números en el sistema sexagesimal. Y para expresar partes de la unidad usaron fracciones sexagesimales: con denominador igual a una potencia de base 60.

      Así, para expresar ponían , y para , .

      A pesar de que el sistema de numeración decimal se usaba en Occidente desde el siglo viii en los números enteros, para expresar las partes de la unidad se recurría a las fracciones sexagesimales. Por ejemplo, para escribir 1,4125 ponían 1;24,45, que significaba 1 + + .

      Reproducción de la Puerta de Ishtar, una de las entradas a la antigua ciudad de Babilonia (Irak).
       

       
       
       
      Tablilla de contabilidad
      mesopotámica datada
      hacia el 2630 a. C.

      Uso de fracciones unitarias

      Los egipcios (siglo xvii a.C.) utilizaban las fracciones unitarias; es decir, las que tienen por numerador la unidad. Por ejemplo, para expresar ponían .

      Y aún en el siglo xiii, Fibonacci (Pisa, Italia), aunque conocía y manejaba las fracciones ordinarias, seguía usando las unitarias.

      Uso de los decimales

      No fue hasta finales del siglo xvi cuando se popularizó el uso de los decimales para expresar partes de la unidad. El francés Vieta y el flamenco Stevin fueron los principales impulsores del cambio.

      En el Obelisco de Lúxor (Tebas, Egipto) aparecen representados números egipcios.

      El sistema sexagesimal de los babilonios

      Para entender cómo escribían los números en la antigua Mesopotamia, sobre tablillas de arcilla, observa la siguiente tabla con algunos ejemplos, en la que se muestran los órdenes de unidades sexagesimales:

      Observa que este sistema solo empleaba dos signos . Con ellos se escribían los números del 1 al 59. Y estos números, según la posición en que se colocaban, multiplicaban su valor por 1, por 60, por 602... o bien por 1/60, por 1/602... (sistema posicional).

      Paso de fracciones sexagesimales a forma decimal

      Para traducir a forma decimal un número expresado en notación sexagesimal, basta con operar como sabemos. Observa:

      N = 1;24,45 (forma sexagesimal)

      N = = 1 + 2 : 5 + 1: 80 = 1,4125 (Forma decimal)

      Resuelve

      1. Expresa como lo haría un escriba en el antiguo Egipto.

      1. Expresa en forma decimal el número que ves debajo, escrito por un matemático italiano del siglo xv:

      3;8,29,44

      ¿Es ese algún número significativo en matemáticas? ¿Cuál?

      1. ¿Cómo escribirías en la tabla de arriba los números 780, 3/5 y 1,6?

      1. ¿Qué números ves en esta tablilla?

      1. Números racionales
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      1 Números racionales

      P

      Números enteros

      Los números naturales son, como sabes, 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11, ... Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se le designa por normal números naturales.

      normal números naturales = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, ...}

      Los números naturales sirven para contar los elementos de un conjunto. También sirven para ordenarlos: 1.º, 2.º, 3.º, ...

      Los números enteros son los naturales y sus opuestos (los enteros negativos). El conjunto de los números enteros se designa por normal números enteros.

      normal números enteros = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

      ● Actividades para repasar las operaciones con números enteros.
      ● Actividades para reforzar las operaciones con números enteros.

      Fracciones y números fraccionarios

      Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son buenos para expresar medidas. Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad: la mitad, cuatro terceras partes, siete milésimas... Estas medidas se expresan mediante fracciones: 1/2, 4/3, 7/1000.

      Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser entero abrir paréntesis fracción 6 entre 2 igual 3 punto y coma espacio fracción numerador menos 12 entre denominador 3 fin fracción igual menos 4 cerrar paréntesis, o fraccionario abrir paréntesis fracción 17 entre 2 igual 8 más 1 medio coma espacio fracción numerador menos 13 entre denominador 5 fin fracción igual menos 2 menos fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis.

      Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa un número entero, y si no lo es, representa un número fraccionario.
       

      Medir con números fraccionarios

      Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo.

      Cuando decimos que el volumen de la Luna es 1/50 del volumen de la Tierra, estamos tomando como unidad el volumen de la Tierra. Y si decimos que la gravedad es 1/6 g, tomamos como unidad 1 g, que es la gravedad en la superficie de la Tierra.

      A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama conjunto de números racionalesy se designa por Q. Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.

      Los números racionales pueden ser representados en la recta.

       Los números racionales (enteros y fraccionarios) se aglomeran en la recta de tal manera que, entre cada dos de ellos, hay otros infinitos números racionales.

      Por qué esos nombres…

      ¿Por qué normal números enterospara designar el conjunto de los números enteros?

      En alemán, número se escribe zahl.

      ¿Por qué normal números racionalespara designar el conjunto de los números racionales?

      En inglés, quotientsignifica “cociente”: los racionales son el cociente de dos enteros.

      1.  ¿Verdadero o falso?

      a) El número 3 es natural, entero y racional. →

      b) El número -12 es entero, pero no natural. Sí es racional. →
      c) El número es racional, pero no entero. →

      d) es racional, pero no entero. →

      1. Dibuja en tu cuaderno una recta como la que aquí te presentamos y sitúa sobre ella, de forma aproximada, los siguientes números:

      Simplificación de fracciones

      Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número (distinto de 1 y de -1), al hacerlo diremos que hemos simplificado o reducido la fracción.

      Por ejemplo:
      Cuando una fracción no se puede reducir más y su denominador es positivo, diremos que es irreducible.

      Cálculo mental

      Simplifica:

      estilo tamaño 14px fracción 2 entre 4 igual fracción 2 entre 6 igual fracción 5 entre 10 igual fracción 10 entre 15 igual fracción numerador menos 20 entre denominador 30 fin fracción igual fracción 30 entre 40 igual fracción numerador menos 30 entre denominador menos 45 fin fracción igual fracción numerador 40 entre denominador menos 60 fin fracción fin estilo

       Actividades para repasar la simplificación de fracciones.

      Fracciones equivalentes

      Cada número racional puede expresarse mediante muchas (infinitas) fracciones: 3/5 = 6/10 = 9/15 = ... De ahí la necesidad de establecer un criterio que permita reconocer cuándo dos fracciones representan al mismo número racional.

      Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción irreducible, que tomamos como expresión habitual del correspondiente número racional.

      y son equivalentes, pues y .

      Cálculo mental

      Comparación de fracciones

      Dos fracciones con el mismo denominador son muy fáciles de comparar observando sus numeradores. Para comparar dos fracciones con distinto denominador, las “reducimos a común denominador”, es decir, buscamos dos fraccciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador.

      Comparar fracción itálica 7 entre itálica 12 itálica coma itálica espacio fracción itálica 5 entre itálica 8 itálica espacio y itálica espacio fracción itálica 9 entre itálica 16 itálica.

      Tomaremos como denominador común el mín.c.m. (12, 8, 16) = 48.

      1. ¿Verdadero o falso?

      a) > -  porque el primero es positivo y el segundo, negativo. →

      b) > porque el primero es mayor que 1 y el segundo, menor que 1. →
      c) -  > -  porque el primero es mayor que -2 y el segundo, menor que -2. →

      1. Compara mentalmente cada pareja de números:

      a) y

      b) y

      c) y

      d) 3 y

      1. Ordena de menor a mayor estas fracciones:

      2. Operaciones con fracciones
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      2 Operaciones con fracciones

      P

      Suma y resta de fracciones

      Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador, se suman (o se restan) sus numeradores y se mantiene el denominador.

      Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, se empieza por transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador.

      Por ejemplo:

      Cáculo mental

       • Actividades para repasar la suma y la resta de fracciones.
      • Actividades para reforzar la suma y la resta de fracciones.

      Producto de fracciones

      El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

      Por ejemplo:

      Cálculo mental

      Cociente de fracciones

      La inversa de una fracción es porque = = 1.

      Por ejemplo, la inversa de es , y la inversa de 3 es . El 0 no tiene inversa.

      El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

      Por ejemplo: ;

      Cálculo mental

       Actividades para reforzar las operaciones combinadas con fracciones.

      Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados:

      1. a) +       b) 6 -        c) 3 ·

                d) 6 :             e) : 6            f) :

      La fracción como operador (fracción de una cantidad)

      Para hallar los de una cantidad, por ejemplo de 1200 €, se la divide por 5 (obteniéndose, así, una quinta parte) y el resultado se multiplica por 3. Es decir, se multiplica la cantidad por → · 1200 € = 720 €

      Para hallar una fracción de una cantidad C, se multiplica · C.

      Ejemplos

      • Un cartero ha de repartir los 3/28 del total de 4004 cartas. ¿Cuántas cartas le corresponden?

      · 4004 = 3 · = 3,143 = 429 cartas le corresponden.

      • Berta es dueña de 7/20 de una empresa. Este año le han correspondido 37800 € en el reparto de beneficios. ¿Cuál ha sido la ganancia total de la compañía?

      Si por le corresponden 37800 €, a le corresponden = 5400 €.

      Por tanto, al total abrir paréntesis fracción 20 entre 20 cerrar paréntesis le corresponden 20 · 5400 = 108000 €.

      A este resultado se podría haber llegado multiplicando la parte que le corresponde a Berta (37800 €) por la inversa de su fracción de la empresa, .

      37800 · = · 20 = 5400 · 20 = 108000 €

      Las distintas partes (fracciones) de un todo suman 1.

      Para hallar la parte de otra de una cantidad C, se multiplica .

      Ejemplos

      De una herencia de 104000 €, Alberto posee 3/8; Berta, 5/12, y Claudia, el resto. Claudia emplea 2/5 de su parte en pagar deudas. ¿Cuánto le queda?

      1 - - = = es la fracción de Claudia.

      Como gasta de lo que le toca, le quedan de su fracción:

      · · 104000 = · 104000 = 13000 € le quedan.

      Halla la parte del total que corresponde a cada fracción:

      a) 1 medio de 520 000 €.
      b) fracción 3 entre 5 de 1 000 000 de personas.
      c) fracción 7 entre 10 de 500 edificios.

      Di en cada caso la cantidad total:

      a) 350 es 1 medio del total.

      b) 400 es fracción 2 entre 3 del total.

      c) 350 es fracción 7 entre 10 del total.

      Di en cada caso qué fracción falta para completar la unidad:

      a) 1 medio coma espacio 1 cuarto espacio normal y espacio fracción ? entre ?

      b) fracción 2 entre 3 coma espacio fracción 1 entre 6 espacio normal y espacio fracción ? entre ?

      c) 1 cuarto coma espacio fracción 1 entre 6 espacio normal y espacio fracción ? entre ?

      d) 1 medio coma espacio 1 cuarto coma espacio fracción 1 entre 8 espacio normal y espacio fracción ? entre ?

      1. Un ciclista ha recorrido los 5/9 de la etapa de hoy, de 216 km. ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos?

      1. He sacado del banco 3900 €, que son los 3/11 de mis ahorros. ¿A cuánto ascienden mis ahorros?

      1. De una balsa con 5250 litros de agua, corresponden 4/15 a Braulio; 2/5, a Enrique, y el resto, a Ruperto. Ruperto dedica 3/10 de su parte a regar tomates, y el resto, a los frutales. ¿Cuánta agua dedica Ruperto a los frutales?

      1. Números racionales
      3. Números decimales
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      3 Números decimales

      P

      Los números decimales sirven, entre otras cosas, para designar medidas, pues con ellos se puede expresar cualquier valor intermedio entre dos números enteros.

      Los números decimales se representan sobre la recta numérica, de tal modo que con ellos podemos aproximarnos mucho (tanto como queramos) a cualquiera de sus puntos:

      Recuerda

      En las calculadoras, en vez de la coma decimal, se pone un punto.

      1427,54 →

      Siguiendo este proceso, el punto rojo puede designarse mediante un número decimal con tanta aproximación como queramos (3,857...).
       

      La expresión decimal de los números permite valorarlos, compararlos y operar con ellos de forma muy cómoda y eficaz.

      Recuerda

      Si en una calculadora de pantalla descriptiva,al efectuar una operación con decimales obtienes la solución de forma fraccionaria, puedes pasarlo a decimal dando a la tecla .

      Tipos de números decimales

      Veamos las distintas clases de números decimales que existen:

      • Decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

      Por ejemplo: 5,4; 0,97; 8; -0,0725

      • Decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente.

      Recuerda

      En un número, el grupo de cifras decimales que se repite una y otra vez se llama periodo.Se indica poniendo un arco sobre las cifras correspondientes:

      7 coma 81 con paréntesis de arriba encima espacio espacio espacio espacio 18 coma 3 52 con paréntesis de arriba encima

      • Decimales no exactos ni periódicos. Son números decimales que tienen infinitas cifras que no se repiten periódicamente.
        Por ejemplo: = 1,4142135...
        π = 3,14159265...

      1. Indica qué tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:

      1. Ordena de menor a mayor estos números:

      1. Escribe tres números comprendidos entre 2,5 y .

      Paso de fracción a decimal

      Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. El cociente puede ser:

      • • Un número entero, cuando el numerador es múltiplo del denominador.

      Por ejemplo: = 8; = -16

      • • Un decimal exacto, si el denominador de la fraccción simplificada solo tiene los factores primos 2 y 5 (o alguno de ellos).

      Por ejemplo: = 0,375; = 3,075; = 1,68

      Observa por qué esto es así:

      Si solo están los factores 2 y 5, siempre podremos completar una potencia de base 10 en el denominador.

      • Un decimal periódico, si el denominador de la fracción simplificada tiene algún factor primo distinto de 2 y 5.

      Por ejemplo:

      ¿Por qué si el cociente no es exacto, entonces, con seguridad, es periódico? Razonemos sobre un ejemplo, 3 : 7, cuya división tienes en el margen. Puesto que al dividir por 7 el resto solo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6, en algún momento tendrá que repetirse, y a partir de ahí, se repetirá toda la secuencia.
       

      Ejemplo

       

      Toda fracción irreducible da lugar a un número decimal:

      • Decimal exacto, si el denominador solo tiene los factores 2 y 5.
      • Decimal periódico, si el denominador tiene factores distintos a 2 y 5.

      Por tanto, unos y otros son números racionales. Sin embargo, los decimales con infinitas cifras no periódicas no son racionales.

      Recuerda

      Números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.

      1. ¿Verdadero o falso?

      a) = 0,333... = estilo tamaño 14px 0 coma 3 con paréntesis de arriba encima fin estilo

      = 3 · 0,333... = 0,999... = estilo tamaño 14px 0 coma 9 con paréntesis de arriba encima fin estilo
      Como = 1, resulta que estilo tamaño 14px 0 coma 9 con paréntesis de arriba encima fin estilo = 1. →

      b) estilo tamaño 14px 5 coma 4 con paréntesis de arriba encima igual 5 coma 44 con paréntesis de arriba encima fin estilo →

      c) estilo tamaño 14px 3 coma 72 con paréntesis de arriba encima fin estilo = 3,7272727... = estilo tamaño 14px 3 coma 727 con paréntesis de arriba encima fin estilo →
      d) estilo tamaño 14px 0 coma 3 con paréntesis de arriba encima más 0 coma 6 con paréntesis de arriba encima igual 1 fin estilo →

      1. Sin efectuar la división, y atendiendo solo al denominador de la fracción simplificada, di si las siguientes fracciones darán lugar a decimales exactos o decimales periódicos:

      a)       b)      c)       d)

      1. Calcula:

      a) estilo tamaño 14px 7 coma 45 con paréntesis de arriba encima espacio menos espacio 3 coma 454 con paréntesis de arriba encima fin estilo
      b) estilo tamaño 14px 6 menos 3 coma 9 con paréntesis de arriba encima fin estilo
      c) estilo tamaño 14px 3 coma 5 con paréntesis de arriba encima más 2 coma 3 con paréntesis de arriba encima más 1 coma 1 con paréntesis de arriba encima fin estilo

      2. Operaciones con fracciones
      4. Paso de decimal a fracción
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      4 Paso de decimal a fracción

      P

      Acabamos de ver que si se efectúa la división del numerador entre el denominador de una fracción, el resultado es un número decimal exacto o periódico (puro o mixto). Ahora nos planteamos el problema inverso: ¿cuál es la fracción que corresponde a un número decimal?

      De decimal exacto a fracción

      Expresar en forma de fracción un número decimal exacto es muy fácil, pues el denominador es una potencia de base 10.

      Por ejemplo: 2,5 =  = ; 3,41 = ; 0,004 =  = 

      De decimal periódico puro a fracción

      Veamos con dos ejemplos el proceso que conviene seguir.

      • Periodo de una sola cifra: N =  = 5,4444...

       Al restar, desaparece la parte decimal:

      10 N - N = 54 - 5 → 9N = 49 → N = 

      Comprobación: = 

      Observa

      Al multiplicar N por 10, se obtiene otro número con la misma parte decimal.

      • Periodo con varias cifras: N =  = 6,207207207 ...

       Al restar, desaparece la parte decimal:

      1000N - N = 6207 - 6 → 999N = 6201 → N = 

      Comprobación: 6201  999 = 

      Observa

      Al multiplicar N por 1000, se obtiene otro número con la misma parte decimal.

      Para escribir un número periódico puro, N, en forma de fracción:

      • Multiplicamos N por una potencia de base 10 para hallar otro número con la misma parte decimal.
      • Al restar ambos números, obtenemos un número entero.
      • Despejando N, llegamos a la fracción buscada. 

       Ayuda al razonamiento: paso de decimal periódico mixto a fracción.

      1.  Expresa en forma de fracción:

      1. Observamos que .

      Compruébalo expresando en forma de fracción cada sumando y efectuando la suma de fracciones.

      1. Realiza los apartados b) y c) de la actividad 6 de la página anterior pasando, previamente, los decimales a fracciones y operando con ellas.

      De decimal periódico mixto a fracción

      • Pongamos en forma de fracción N = :

      N =   2,5636363 ... Multiplicamos por 10 para obtener un decimal periódico puro.

      10N =   25,636363 ... Ahora, multiplicamos por 100 para obtener otro con la misma parte decimal.

      1000N = 2563,636363 ... Al restar este al anterior, desaparece la parte decimal. Es decir, se obtiene un número entero.

      1000N - 10N = 2563 - 25 → 990N = 2538 → N =

      Comprobación: 2538 990 =

      • •Otro ejemplo: N = = 0,07324324324...

      100N =       7,324324... Se obtiene un periódico puro.

      100000N = 7324,324324... Otro, con la misma parte decimal.

      100000N - 100N = 7324 - 7 → 99900N = 7317 → N =

      Comprobación: 7317 99900 =

      Para escribir un número periódico mixto, N, en forma de fracción:

      • Multiplicamos N dos veces por potencias de base 10 para conseguir dos decimales periódicos puros con el mismo periodo.
      • Al restarlos, se obtiene un número entero.
      • Despejando N, se obtiene la fracción buscada.

      Decimales no periódicos

      Los números decimales con infinitas cifras no periódicas no se pueden poner en forma de fracción. Por tanto, no son racionales. Por ejemplo:

      • 0,121221222122221 ... Aunque hay regularidad, no hay periodicidad.
      • π  = 3,141592653589 y = 1,414213562373......  Las sucesivas cifras decimales de π no siguen ninguna regularidad. Lo mismo le ocurre a y a las demás raíces no exactas.

       Ayuda al razonamiento: paso de decimal periódico mixto a fracción.
       Ejemplos de cómo expresar números decimales en forma de fracción.

      1.  Completa el proceso para expresar como fracción el número dado en cada caso:

      a) 

      b)

      1. Expresa como fracción los decimales siguientes:

      a) →

      b) →

      c) →

      1. ¿Cuáles de los siguientes números son racionales? Ponlos en forma de fracción:

      a) 3,51 →

      b) 5,202002000...  →

      c) →

      d) 0,3212121...  →

      e) π = 3,141592...  →

      f) →

      1. Comprueba, obteniendo las fracciones correspondientes, que

      3. Números decimales
      Ejercicios y problemas resueltos
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      Ejercicios y problemas resueltos

      P

      1. Operaciones con fracciones

      Calcular y simplificar.

      fracción numerador estilo mostrar fracción 3 entre 2 fin estilo menos espacio 4 espacio abrir paréntesis 2 espacio menos estilo mostrar fracción 5 entre 3 fin estilo cerrar paréntesis entre denominador abrir paréntesis 1 medio menos espacio 2 cerrar paréntesis espacio estilo mostrar fracción 4 entre 3 fin estilo menos estilo mostrar 1 tercio fin estilo abrir paréntesis menos estilo mostrar fracción 7 entre 2 fin estilo cerrar paréntesis fin fracción

       

      Efectuamos las operaciones paso a paso teniendo en cuenta los paréntesis y la prioridad de las operaciones. En cada paso, simplificamos los resultados parciales.

      fracción numerador estilo mostrar fracción 3 entre 2 fin estilo menos 4 abrir paréntesis estilo mostrar 1 tercio fin estilo cerrar paréntesis entre denominador abrir paréntesis menos estilo mostrar fracción 3 entre 2 fin estilo cerrar paréntesis estilo mostrar fracción 4 entre 3 fin estilo más estilo mostrar fracción 7 entre 6 fin estilo fin fracción igual fracción numerador estilo mostrar fracción 3 entre 2 fin estilo menos estilo mostrar fracción 4 entre 3 fin estilo entre denominador menos 2 más estilo mostrar fracción 7 entre 6 fin estilo fin fracción igual fracción numerador estilo mostrar fracción 1 entre 6 fin estilo entre denominador menos estilo mostrar fracción 5 entre 6 fin estilo fin fracción igual menos 1 quinto

       

      1. Decimales periódicos

      Comprobar que los números 4 coma 12 9 con paréntesis de arriba encima  y 4,13 se expresan mediante la misma fracción.

      Hazlo tú. ¿Con qué decimales exactos podemos identificar los números 5 coma 9 con paréntesis de arriba encima espacio punto y coma espacio 8 coma 3 9 con paréntesis de arriba encima espacio y espacio 0 coma 00 9 con paréntesis de arriba encima?

       

        Expresamos en forma de fracción:

      N = 4 coma 12 9 con paréntesis de arriba encima → Restamos miembro a miembro:

      1000N - 100N = 4129,999... - 412,999... → 900N = 4129 - 412 = 3717

      Despejamos N → N = = = 4,13

      1. Reparto con fracciones
      Tres amigas ganan un premio que reparten de la siguiente forma: a María le corresponden los 2/5 del total; a Mónica, los 2/3 de lo que recibió María, y a Paula, el resto. Cada una dona la sexta parte a una asociación. Si Mónica obtuvo 36 € después de donar su parte, ¿qué fracción del total recibió cada una? ¿Qué cantidad corresponde a cada una?   La parte del premio que le corresponde a María es 2/5.

      A Mónica le corresponde fracción 2 entre 3 por fracción 2 entre 5 igual fracción 4 entre 15, y a Paula, el resto, que es: 1 menos abrir paréntesis fracción 2 entre 5 más fracción 4 entre 15 cerrar paréntesis igual 1 tercio

      Después de donar 1/6, cada una recibirá los 5/6 de lo que le corresponde.

      Si Mónica recibe 36 €, que es del total, el premio a repartir es: 36 · = 162 €

      La fracción que recibe María es del total; la de Mónica, ; y la de Paula, .
      La cantidad que entregarán a María es 162 · = 54 €; la que recibirá Mónica es 36 €, y la que corresponde a Paula es 162 · = 45 €.

      1. Grifos y fracciones
      Un grifo A llena un depósito de agua en 2 horas, y otro grifo B, en 3 horas. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en 6 horas estando los grifos cerrados. Si abrimos los dos grifos y el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará el depósito en llenarse?  

      Si el grifo A llena el depósito en 2 h, en una hora llena 1/2 del mismo.

      El grifo B, en una hora, llena 1/3 del depósito.

      El desagüe vacía en una hora 1/6 del depósito.

      Si abrimos los tres a la vez, en 1 h llenan:

      1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3 del depósito

      Por tanto, el tiempo que tardan es: 1 : = h = 1,5 h = 1 h 30 min.

      4. Paso de decimal a fracción
      Ejercicios y problemas
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      Ejercicios y problemas

      P

      Practica

      Fracciones y decimales

      1. Simplifica las fracciones siguientes:

      1.  Agrupa las fracciones que sean equivalentes.

      1. En cada apartado, reduce a común denominador y ordena de menor a mayor:

      a) , , , ,

      b) -, -, -, -


      c) , -, , -, , -

      1. Expresa como suma de un número entero y una fracción, igual que se hace en el ejemplo:
      • = = + = 2 +

      a) →

      b)   →

      c)   →

      d) -  →

      e) - →

      1. Expresa como número decimal las siguientes fracciones:

      1. Determina, sin realizar la división, cuáles son decimales exactos y cuáles decimales periódicos.

               

      1. Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos o periódicos (intenta dar la respuesta antes de efectuar la división):

      • Exactos

      • Periódicos

      1. Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:

      a) 1,6 y 1,8  →

      b) 0,98 y 1 →

      c) 0,28 y 0,29 →

      d) 0,345 y 0,346  →

      e) 2 coma 3 con paréntesis de arriba encima  y 2,4  →

      f) -4,5 y -4,4 →

      1. Ordena de menor a mayor en cada apartado:

      a) 3 coma 56 punto y coma espacio espacio 3 coma 5 6 con paréntesis de arriba encima punto y coma espacio espacio 3 coma 5 con paréntesis de arriba encima punto y coma espacio espacio 3 coma 56 con paréntesis de arriba encima


      b) menos 1 coma 32 punto y coma espacio espacio menos 1 coma 3 2 con paréntesis de arriba encima punto y coma espacio espacio menos 1 coma 32 con paréntesis de arriba encima punto y coma espacio espacio menos 1 coma 3 con paréntesis de arriba encima

      1. Expresa en forma de fracción.

      a) 3,7 →

      b) 0,002  →

      c) -1,03 →

      d) menos 2 coma 5 con paréntesis de arriba encima →

      e)  menos 0 coma 21 con paréntesis de arriba encima →

      f) 14 coma 3 con paréntesis de arriba encima →

      1. Expresa como fracción.

      a)  menos 0 coma 3 2 con paréntesis de arriba encima →

      b) 1 coma 0 3 con paréntesis de arriba encima  →

      c) 0 coma 0 12 con paréntesis de arriba encima  →

      d) menos 3 coma 15 con paréntesis de arriba encima  →

      e) 5 coma 34 5 con paréntesis de arriba encima  →

      f) 9 coma 0 9 con paréntesis de arriba encima →

      Operaciones con fracciones

      1. Calcula y simplifica mentalmente las expresiones siguientes:

      a) 2 + →

      b) + →

      c) - →

      d) 2 · →

      e) : 2 →

      f) · →
      g) · →

      h) : 3 →

      i) · 21→

      1. Calcula mentalmente:

      a) de 60 →

      b) de 100 →

      c) de 500 →

      d) La mitad de . →
      e) La tercera parte de . →

      f) La mitad de la quinta parte de -6. →

      1. Calcula mentalmente el número que se pide en cada caso:

      a) Los dos tercios de un número valen 22. ¿Cuál es el número?

      b) Los cinco cuartos de un número valen 35. ¿Cuál es el número?

      c) Los siete décimos de una cantidad son 210. ¿Cuál es esa cantidad?

      1. Reduce a una fracción.

      a)   

      b)  

      c)

      1. Efectúa y simplifica descomponiendo en factores, como en el ejemplo:

      a) →

      b)  →

      c) →
      d)   →

      e)   →

      f) →

      1. Reduce estas expresiones a una sola fracción:

      a) 1 medio menos 1 cuarto por fracción 1 entre 8 menos fracción 1 entre 16 →

      b) abrir paréntesis fracción 3 entre 5 menos 1 cuarto más 2 cerrar paréntesis menos abrir paréntesis fracción 3 entre 4 menos fracción 2 entre 5 más 1 cerrar paréntesis →
      c) abrir paréntesis 1 más 1 tercio cerrar paréntesis menos abrir paréntesis fracción 3 entre 4 más 1 medio cerrar paréntesis por abrir paréntesis 1 tercio menos 1 cuarto cerrar paréntesis →

      d) abrir paréntesis fracción 3 entre 5 más 1 tercio cerrar paréntesis menos abrir corchetes 1 menos abrir paréntesis fracción 3 entre 4 menos 1 medio cerrar paréntesis más fracción 2 entre 3 menos fracción 3 entre 20 cerrar corchetes →

      1. Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadora utilizando las teclas de fracción y paréntesis.

      a) menos fracción 4 entre 3 por 1 medio más fracción 3 entre 4 menos abrir paréntesis 1 tercio más 1 medio dos puntos fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis  →

      b) 3 menos fracción 2 entre 3 abrir paréntesis 1 menos 1 cuarto cerrar paréntesis al cuadrado más fracción 3 entre 8 abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis →

      c) abrir paréntesis fracción 5 entre 2 menos fracción 5 entre 6 más fracción 2 entre 3 por 1 cuarto cerrar paréntesis dos puntos abrir corchetes 2 menos 1 medio abrir paréntesis 1 más fracción 5 entre 3 cerrar paréntesis cerrar corchetes →

      1. Calcula y comprueba con la calculadora.

      a) 5 dos puntos abrir paréntesis fracción 2 entre 4 más 1 cerrar paréntesis menos 3 dos puntos abrir paréntesis 1 medio menos 1 cuarto cerrar paréntesis →

      b) fracción 2 entre 3 abrir paréntesis fracción 3 entre 4 menos 1 medio cerrar paréntesis al cuadrado menos fracción 1 entre 6 abrir paréntesis fracción 5 entre 6 menos 1 tercio cerrar paréntesis al cuadrado →

      c) menos fracción 3 entre 8 abrir corchetes 3 menos fracción 3 entre 5 menos abrir paréntesis fracción 17 entre 20 menos 1 cerrar paréntesis por abrir paréntesis 1 tercio cerrar paréntesis menos 3 cerrar corchetes →

      d) abrir corchetes abrir paréntesis fracción 2 entre 3 menos fracción 1 entre 9 cerrar paréntesis más 13 abrir paréntesis fracción 2 entre 3 menos 1 cerrar paréntesis al cuadrado cerrar corchetes dos puntos abrir paréntesis menos fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis →

      1. Calcula pasando previamente a fracción.

      a) 3,5 + 2 coma 3 con paréntesis de arriba encima  →

      b) 0 coma 1 2 con paréntesis de arriba encima - 0,2 →
      c) 1 coma 6 con paréntesis de arriba encima - 1 coma 0 2 con paréntesis de arriba encima →

      d) 3 coma 42 con paréntesis de arriba encima + 7 coma 6 con paréntesis de arriba encima →

      e) 2 coma 3 con paréntesis de arriba encima  + 4 coma 6 con paréntesis de arriba encima  →

      f) 6 coma 17 con paréntesis de arriba encima  + 3 coma 82 con paréntesis de arriba encima →

      Aplica lo aprendido

      1. Llevo leído 3/8 de un libro de 288 páginas. ¿Cuántas páginas me quedan para acabar el libro?
      1.  Juan mide 1,60 m, las 5/6 partes de la altura de su padre. ¿Cuánto mide el padre de Juan?
      1. De los 28 alumnos de una clase, 4/7 han aprobado todo, de los cuales 1/8 obtuvieron sobresaliente de media. ¿Cuántos alumnos sacaron sobresaliente? ¿Cuántos suspendieron alguna asignatura?

      1. Julia gastó 1/3 de su dinero en libros y 2/5 en discos. Si le han sobrado 36 €, ¿cuánto tenía?
      1. Una mezcla de 600 g de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto de arroz.

      a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla?

      b) ¿Qué cantidad hay de cada cereal?

      1. De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y el resto, de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?
      1. De un bidón de aceite se saca primero la mitad, y después, la quinta parte de lo que queda. Si en el bidón aún hay 3 litros, ¿cuál es su capacidad?
      1. En una frutería, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden a las frutas, y el resto, a las verduras. De lo recaudado por las frutas, los 3/8 son de las naranjas, y ese día fueron 90 €. ¿Cuánto se recaudó en total? ¿Qué parte correspondió a las verduras?

      Resuelve problemas  

      1. De una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y, después, los 7/10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1893 €, ¿cuánto había al principio?
      1. De un depósito de aceite, se vacía la mitad; después, la mitad de lo que queda; luego, los 11/15 del resto. Si quedan 36 l, ¿cuántos había al principio?
      1. Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9; el segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €.

      a) ¿Cuánto he pagado cada vez?

      b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar?

      1. Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, su peso se reduce en 1/5. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azucar, perdiéndose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?
      1. Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas a razón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 del campo, sale por 140000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?
      1. Dos agricultores, padre e hijo, tardan 2 horas en arar un campo. Si lo hace solo el padre tarda 6 horas. ¿Cuánto tardará el hijo en hacerlo solo?
      1. Un grifo llena un depósito de agua en 9 horas. Si además del grifo se abre el desagüe, entonces el tiempo de llenado es 36 horas. ¿Cuánto tarda el desagüe en vaciar el depósito, estando el grifo cerrado?

      Problemas “+”"  

      1. Un grupo de amigos ha ido a comer a una pizzería y han elegido tres tipos de pizza, A, B y C. Cada uno ha tomado 1/2 de A, 1/3 de B y 1/4 de C; han pedido en total 17 pizzas y, como es lógico, no ha sobrado ninguna entera.

      a) ¿Ha tomado cada uno más de una pizza, o menos? ¿Cuántos amigos son?

      b) ¿Cuántas pizzas de cada tipo han encargado? ¿Ha sobrado algo?

      c) Contesta a las mismas preguntas si hubiese sido 20 el número de pizzas pedido.

      1. En una receta para hacer mermelada de higos se lee: “añadir 400 g de azúcar y 100 g de agua por cada kilo de higos”. Tres amigas, A, B y C, con un puesto en el mercado, elaboraron estas cantidades:

      A → 2 botes de 5/8 kg y 4 de 9/25 kg

      B → 3 botes de 1/5 kg y 3 de 5/8 kg

      C → 5 botes de 9/25 kg y 2 de 1/5 kg

      a) ¿Cuál de las tres preparó más cantidad?

      b) Si una persona pide 3/4 kg, ¿cuál es la forma de entregarle la cantidad más próxima?

      c) Si el agua se evapora durante la cocción, ¿cuál es la proporción de azúcar que tiene la mermelada?

      Reflexiona sobre la teoría

      1. ¿Cuáles de los siguientes números no son racionales? Pon en forma de fracción los que sea posible:

      a) 0,018 

      b)  

      c) 1,212112111...

      d) 2π e) 7,03232...

      f)

      1. a) Expresa en forma decimal el valor de:

        

      b) Escribe el resultado en forma de fracción.

      1. Busca cuatro números fraccionarios comprendidos entre 1/3 y 1/2. ¿Cuántos hay?

      1. Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Qué puede ocurrir cuando dividimos por 3?

      ¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 : 3; 31 : 3 y 32 : 3?

      La parte decimal del cociente a : 3 es 6666... ¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?

      1.  ¿Verdadero o falso? Explica y pon ejemplos.

      a) Hay números decimales que no son racionales.

      b) El cociente de dos números decimales exactos es siempre un decimal exacto.

      c) Al sumar dos números decimales periódicos puros se obtiene siempre un decimal periódico puro.

      d) Todos los números enteros se pueden expresar en forma de fracción.

      1. ¿Cuál de estas fracciones es equivalente a a/b?

      1.  Sabiendo que a > b > c > 0, compara estos pares de fracciones y di cuál es la menor en cada caso:

      a)       b)       c)

      1. Divide por 11 los números del 1 al 10 y anota los resultados.

      a) ¿Cuántos decimales distintos pueden salir?

      b) ¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 11?

      c) ¿Puedes predecir el resultado de 23 : 11 y de 40 : 11?

      Ejercicios y problemas resueltos
      Taller de matemáticas
      1. Fracciones y decimales
      1. Fracciones y decimales
      Sin sonido de fondo
      Logo

      Taller de matemáticas

      P

      Infórmate

      Un niño llamado Gauss 

      Hace poco más de dos siglos, un maestro alemán que quería paz y tranquilidad en su clase propuso a sus alumnos de 5 años que calcularan la suma de los números 1 al 100.

      A Carl Friedrich Gauss se le ocurrió que:

      1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101

      Evidentemente, la suma era 50 · 101 = 5050.

      Al pobre maestro le duró poco la tranquilidad.

      Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Con Newton y Arquímedes  forma el trío de matemáticos más relevantes de la historia. Su obra tuvo un influjo permanente en el desarrollo posterior de la ciencia matemática.

       

      Lee, reflexiona y deduce

      Un lío con otra suma

      Las matemáticas son pura lógica y siempre exactas. Sin embargo, a veces parece que llegan a contradicciones. Observa, por ejemplo, esta suma de infinitos sumandos:

      S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

      Podemos interpretarla de dos formas:

      S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 ... = 0   ¡sorpresa!

      S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1

      Y por si te parece poco lío, podemos todavía enredarlo más:

      1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

      1 - S = S → S = ¡supersorpresa!

      • ¿Dónde está la trampa? ¿Será que al tomar infinitos sumandos se pierde el camino de la lógica? ¿Tú qué opinas?

      Utiliza tu ingenio

      Una cuestión de comas

      Poniendo una coma en el lugar adecuado, la siguiente expresión es cierta:

      “cinco por cuatro veinte más uno, veintidós”"

      ¿Podrías aclarar la cuestión?

      Entrénate resolviendo problemas

      • Un joyero consigue una rebaja de 140 € en la compra de 16 broches iguales, cuyo precio, según el catálogo, es de 87,5 € cada unidad.

      ¿A cuánto debe vender cada uno si desea obtener una ganancia total de 500 €?

      • Marta compra tres tortas, y Beatriz, dos. Cuando van a merendar, se les une su amiga Verónica, que no trae tortas. A la hora de compartir gastos, a Verónica le toca poner 5 €.

      ¿Cómo se repartirán esos 5 € Marta y Beatriz?

      • Un grupo de amigos entra en una cafetería. Todos piden café, y la quinta parte de ellos pide, además, un bollo. Un café cuesta 0,85 €, y un bollo, 1,10 €.

      Para pagar, entregan al camarero 11 €.

      ¿Han dejado propina? Si es así, ¿de cuánto ha sido?

      • Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de once monedas de oro y un caballo. A los cuatro meses, el sirviente se despide, recibiendo el caballo y una moneda.

      ¿Cuál era el valor del caballo?

       

      Autoevaluación

      Resoluciones de estos ejercicios.

      1. Efectúa y simplifica el resultado.

      1 medio abrir corchetes 3 menos fracción 2 entre 5 abrir paréntesis 1 menos fracción 5 entre 9 cerrar paréntesis menos abrir paréntesis 4 menos fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis dos puntos 2 cerrar corchetes  

      1. Calcula el resultado de esta suma pasando, previamente, cada decimal a fracción:

      menos 1 coma 8 9 con paréntesis de arriba encima espacio más espacio 0 coma 00 28 con paréntesis de arriba encima espacio más espacio 0 coma 72 con paréntesis de arriba encima 

      1. Escribe, en cada caso, tres números comprendidos entre los dos dados:

      a) y

      b) 2 coma 7 con paréntesis de arriba encima espacio y espacio 2 coma 8 con paréntesis de arriba encima

      1. Clasifica en decimales exactos o periódicos sin hacer la división.

      fracción 89 entre 50 espacio espacio espacio fracción 113 entre 12 espacio espacio espacio fracción 23 entre 32 espacio espacio espacio fracción 18 entre 7

      1. Dos cajas con manzanas se ponen a la venta a 2,50 € el kilo.

      La primera, que supone los 5/12 del total, se vende por 50 €.

      ¿Cuántos kilos de manzanas había en cada caja? 

      1. Entre los usuarios de un polideportivo, la quinta parte tiene más de 60 años, y dos de cada tres están entre los 25 y los 60 años.

      a) ¿Qué fracción de los usuarios tiene 25 años o menos?

      b) Si el número de usuarios es 525, ¿cuántos hay de cada grupo de edad?

      1. Compro una bicicleta que pagaré en tres plazos. En el primero, pago los 3/10 del total; en el segundo, 4/5 de lo que me queda por pagar, y para el tercero, solo tengo que pagar 21 €. ¿Cuál es el precio de la bicicleta?

      1. ¿Verdadero o falso?

      a) Todas las fracciones son números racionales. →

      b) Todos los números racionales son fraccionarios. →

      c) Los números enteros se pueden expresar en forma de fracción. →

      d) Una fracción siempre equivale a un número decimal periódico. →

      e) Un número decimal periódico es un número racional. →

       

      Ejercicios y problemas
      • I. Introducción
      • 1. Números racionales
      • 2. Operaciones con fracciones
      • 3. Números decimales
      • 4. Paso de decimal a fracción
      • Ejercicios y problemas resueltos
      • Ejercicios y problemas
      • Taller de matemáticas
      1. I
      2. 1
      3. 2
      4. 3
      5. 4
        Borrador
        Editor de texto enriquecido
        Barras de herramientas del editorEstilos básicos Negrita Cursiva Subrayado Tachado Mayúsculas/ Minúsculas/ Letra Capital Color de Texto Color de Fondo Subíndice SuperíndicePárrafo Numeración Viñetas Disminuir Sangría Aumentar SangríaLine spacingLine spacingparagraph2 Alinear a Izquierda Centrar Alinear a Derecha JustificadoInsertar Insertar/Editar Vínculo Tabla Insertar Caracter EspecialEstilosFuenteFuenteTamañoTamaño

        Pulse ALT 0 para ayuda
        Back to top
        cerrar