1. Fracciones y decimales

Uso de fracciones sexagesimales

En la antigua Mesopotamia escribían los números en el sistema sexagesimal. Y para expresar partes de la unidad usaron fracciones sexagesimales: con denominador igual a una potencia de base 60.

Así, para expresar ponían , y para , .

A pesar de que el sistema de numeración decimal se usaba en Occidente desde el siglo viii en los números enteros, para expresar las partes de la unidad se recurría a las fracciones sexagesimales. Por ejemplo, para escribir 1,4125 ponían 1;24,45, que significaba 1 + + .

*Reproducción de la Puerta de Ishtar, una de las entradas a la antigua ciudad de Babilonia (Irak).*




	Tablilla de contabilidad mesopotámica datada hacia el 2630 a. C.

Uso de fracciones unitarias

Los egipcios (siglo xvii a.C.) utilizaban las fracciones unitarias; es decir, las que tienen por numerador la unidad. Por ejemplo, para expresar ponían .

Y aún en el siglo xiii, Fibonacci (Pisa, Italia), aunque conocía y manejaba las fracciones ordinarias, seguía usando las unitarias.

Uso de los decimales

No fue hasta finales del siglo xvi cuando se popularizó el uso de los decimales para expresar partes de la unidad. El francés Vieta y el flamenco Stevin fueron los principales impulsores del cambio.

*En el Obelisco de Lúxor (Tebas, Egipto) aparecen representados números egipcios.*

El sistema sexagesimal de los babilonios

Para entender cómo escribían los números en la antigua Mesopotamia, sobre tablillas de arcilla, observa la siguiente tabla con algunos ejemplos, en la que se muestran los órdenes de unidades sexagesimales:

Observa que este sistema solo empleaba dos signos . Con ellos se escribían los números del 1 al 59. Y estos números, según la posición en que se colocaban, multiplicaban su valor por 1, por 60, por 60²... o bien por 1/60, por 1/60²... (sistema posicional).

Paso de fracciones sexagesimales a forma decimal

Para traducir a forma decimal un número expresado en notación sexagesimal, basta con operar como sabemos. Observa:

N = 1;24,45 (forma sexagesimal)

N = = 1 + 2 : 5 + 1: 80 = 1,4125 (Forma decimal)

Resuelve

Expresa como lo haría un escriba en el antiguo Egipto.

Expresa en forma decimal el número que ves debajo, escrito por un matemático italiano del siglo xv:

3;8,29,44

¿Es ese algún número significativo en matemáticas? ¿Cuál?

¿Cómo escribirías en la tabla de arriba los números 780, 3/5 y 1,6?

¿Qué números ves en esta tablilla?

1. Números racionales

Números enteros

Los números naturales son, como sabes, 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11, ... Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se le designa por $normal números naturales$ .

$normal números naturales$ = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, ...}

Los números naturales sirven para contar los elementos de un conjunto. También sirven para ordenarlos: 1.º, 2.º, 3.º, ...

Los números enteros son los naturales y sus opuestos (los enteros negativos). El conjunto de los números enteros se designa por $normal números enteros$ .

$normal números enteros$ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

● Actividades para repasar las operaciones con números enteros.
● Actividades para reforzar las operaciones con números enteros.

Fracciones y números fraccionarios

Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son buenos para expresar medidas. Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad: la mitad, cuatro terceras partes, siete milésimas... Estas medidas se expresan mediante fracciones: 1/2, 4/3, 7/1000.

Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser entero $abrir paréntesis fracción 6 entre 2 igual 3 punto y coma espacio fracción numerador menos 12 entre denominador 3 fin fracción igual menos 4 cerrar paréntesis$ , o fraccionario $abrir paréntesis fracción 17 entre 2 igual 8 más 1 medio coma espacio fracción numerador menos 13 entre denominador 5 fin fracción igual menos 2 menos fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis.$

Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa un número entero, y si no lo es, representa un número fraccionario.

Medir con números fraccionarios

Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo.

Cuando decimos que el volumen de la Luna es 1/50 del volumen de la Tierra, estamos tomando como unidad el volumen de la Tierra. Y si decimos que la gravedad es 1/6 g, tomamos como unidad 1 g, que es la gravedad en la superficie de la Tierra.

A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama conjunto de números racionalesy se designa por Q. Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.

Los números racionales pueden ser representados en la recta.

Los números racionales (enteros y fraccionarios) se aglomeran en la recta de tal manera que, entre cada dos de ellos, hay otros infinitos números racionales.

Por qué esos nombres…

¿Por qué $normal números enteros$ para designar el conjunto de los números enteros?

En alemán, número se escribe zahl.

¿Por qué $normal números racionales$ para designar el conjunto de los números racionales?

En inglés, quotientsignifica “cociente: los racionales son el cociente de dos enteros.

¿Verdadero o falso?

a) El número 3 es natural, entero y racional. →

b) El número -12 es entero, pero no natural. Sí es racional. →
c) El número es racional, pero no entero. →

d) es racional, pero no entero. →

Dibuja en tu cuaderno una recta como la que aquí te presentamos y sitúa sobre ella, de forma aproximada, los siguientes números:

Simplificación de fracciones

Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número (distinto de 1 y de -1), al hacerlo diremos que hemos simplificado o reducido la fracción.

Por ejemplo:
Cuando una fracción no se puede reducir más y su denominador es positivo, diremos que es irreducible.

Cálculo mental

Simplifica:

$estilo tamaño 14px fracción 2 entre 4 igual fracción 2 entre 6 igual fracción 5 entre 10 igual fracción 10 entre 15 igual fracción numerador menos 20 entre denominador 30 fin fracción igual fracción 30 entre 40 igual fracción numerador menos 30 entre denominador menos 45 fin fracción igual fracción numerador 40 entre denominador menos 60 fin fracción fin estilo$

Actividades para repasar la simplificación de fracciones.

Fracciones equivalentes

Cada número racional puede expresarse mediante muchas (infinitas) fracciones: 3/5 = 6/10 = 9/15 = ... De ahí la necesidad de establecer un criterio que permita reconocer cuándo dos fracciones representan al mismo número racional.

Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción irreducible, que tomamos como expresión habitual del correspondiente número racional.

y son equivalentes, pues y .

Cálculo mental

Comparación de fracciones

Dos fracciones con el mismo denominador son muy fáciles de comparar observando sus numeradores. Para comparar dos fracciones con distinto denominador, las “reducimos a común denominador, es decir, buscamos dos fraccciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador.

Comparar

fracción itálica 7 entre itálica 12 itálica coma itálica espacio fracción itálica 5 entre itálica 8 itálica espacio y itálica espacio fracción itálica 9 entre itálica 16 itálica.

Tomaremos como denominador común el mín.c.m. (12, 8, 16) = 48.

¿Verdadero o falso?

a) > - porque el primero es positivo y el segundo, negativo. →

b) > porque el primero es mayor que 1 y el segundo, menor que 1. →
c) - > - porque el primero es mayor que -2 y el segundo, menor que -2. →

Compara mentalmente cada pareja de números:

a) y

b) y

c) y

d) 3 y

Ordena de menor a mayor estas fracciones:

2. Operaciones con fracciones

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Uso de fracciones sexagesimales

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Uso de los decimales

2 Operaciones con fracciones

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3 Números decimales

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Paso de fracción a decimal

4 Paso de decimal a fracción

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