Potencias y raíz cuadrada

¿Por qué hay tantas bacterias?

En un litro de agua de mar o en un gramo de tierra fértil es posible encontrar hasta mil millones de bacterias. ¿Cómo es posible que haya tantas?
Las bacterias son organismos vivos unicelulares, es decir, están formadas por una sola célula, y se reproducen por división, obteniéndose dos nuevas bacterias iguales a la original cada vez que se dividen.
Normalmente el proceso de división puede tardar una o dos horas, pero algunas bacterias, si las condiciones de temperatura y humedad son buenas, pueden llegar a duplicarse en veinte minutos. ¡A ese ritmo, en doce horas y partiendo de una sola bacteria, superarían en número a la población humana actual!

Si una bacteria se divide cada hora, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora? ¿Y de 2 horas? ¿Y de 3 horas?
¿Qué operaciones has hecho para responder a la actividad 1? ¿Puedes expresarlas de otra forma?
Si a las 4 horas en condiciones óptimas hay 2 × 2 × 2 × 2 = 16 bacterias, ¿cuántas habrá a las 5 horas?
¿Cuántas bacterias habría al cabo de 9 horas? ¿Cuántas horas serían necesarias para que hubiera más de 1.000 bacterias?
EXPRESIÓN ORAL. ¿A qué número de horas corresponde el número de bacterias obtenido con la expresión 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2? ¿Cómo lo has averiguado?

¿Qué sabes ya?

Productos de factores iguales

Factores		Producto
\| \| \|		\|
7 × 7 × 7	=	343

Factores		Producto
\| \| \| \|		\|
10 × 10 × 10 × 10	=	10.000

Cuadrados y cubos

Calcula y escribe.

3 × 3 × 3 × 3
4 × 4 × 4 × 4 × 4
2 × 2 × 2 × 2

5 × 5 × 5
10 × 10 × 10
7 × 7

2Completa las afirmaciones siguientes.

1Completa cada afirmación.

2Forma todas las potencias posibles y escribe cómo se leen.

3Relaciona correctamente.

4Marca el punto de las afirmaciones y de las igualdades correctas.

Problemas

5Oberva el número de pilas que contiene cada paquete y escribe la potencia que resuelve el problema y su resultado.

6Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia.

En un barrio hay 9 urbanizaciones.
Cada urbanización tiene 9 bloques.
En cada bloque hay 9 rellanos.
En cada rellano hay 9 pisos.
¿Cuántos pisos hay en todas las urbanizaciones?
Un club de ajedrez fue fundado hace 5 años por 3 amigos.
Tuvo éxito y cada año el número de socios era el triple del año anterior.
¿Cuántos socios tiene ahora el club?
En un videojuego el número de pruebas que hay que superar en cada nivel es el doble de las del nivel anterior.
Si en el nivel 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en el nivel 9?

1Relaciona cada potencia con su resultado.

2Completa las igualdades escribiendo en cada caja el número correcto.

3Completa la tabla escribiendo los resultados de los análisis de Paula y Miguel utilizando potencias de base 10.

		Resultados	Resultados utilizando potencias de base 10
Paula	Glóbulos rojos	4.870.000
Paula	Glóbulos blancos	9.500
Miguel	Glóbulos rojos	5.210.000
Miguel	Glóbulos blancos	10.200

1Escribe la expresión polinómica de cada número.

198
3.245
49.782

60.342
89.071
209.506

3.090.800
70.250.230
901.600.000

2Relaciona correctamente.

Razonamiento

Ordena de menor a mayor los números de cada grupo. Fíjate bien en las potencias de 10 y los números que las multiplican.

1Observa y completa para cada cuadrado.

Cada lado tiene
cuadrados.
En total hay
cuadrados.
El cuadrado de
es
.
La raíz cuadrada de
es
.

Cada lado tiene
cuadrados.
En total hay
cuadrados.
El cuadrado de
es
.
La raíz cuadrada de
es
.

Cada lado tiene
cuadrados.
En total hay
cuadrados.
El cuadrado de
es
.
La raíz cuadrada de
es
.

2Calcula y completa las igualdades.

3Marca los cuadrados de las afirmaciones corractas.

4Marca los cuadrados de las afirmaciones corractas.

Problemas

5Completa los textos escribiendo en cada hueco el número correcto.

Analizar la difusión de una noticia

Una revista científica ha publicado una investigación acerca de cómo se propagan las noticias. Se ha analizado cómo un pequeño grupo de personas pueden influir en el resto.

Cuando se realiza una campaña publicitaria o alguien quiere difundir una noticia, Internet puede llegar a ser una herramienta muy útil.

Veamos un ejemplo. Imagina que recibes un correo electrónico en el que te cuentan un descubrimiento científico. En cuanto lo recibes se lo envías a cuatro amigos.

Cada uno de ellos al día siguiente se lo envía a otros cuatro, y así sucesivamente.

Calcula y contesta.

Si el primer mensaje se envía hoy, ¿cuántos mensajes se enviarán mañana? ¿Y dentro de dos días? ¿Y dentro de cuatro días?
¿Cómo podrías saber el número de mensajes enviados el quinto día a partir de los enviados el cuarto día? ¿Cuántos serán?
¿Cuántas personas conocerían en total la noticia el sexto día? ¿Y el séptimo día?
Si la noticia se considera importante durante 10 días y todas las personas mandan sus 4 mensajes, ¿cuántos mensajes se enviarán el décimo día?

TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero y contestad.
Responded a las cuestiones de la actividad 1 suponiendo que cada persona envía el mensaje a otras 10 personas. ¿Se difunde la noticia mucho más rápido?

1. Repasa lo esencial

Actividades para escribir

Actividades finales

1. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

7 × 7 × 7
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
10 × 10 × 10 × 10
6 × 6
8 × 8 × 8 × 8 × 8
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

2. Escribe 3 términos más de cada serie. Después, expresa cada término en forma de potencia.

	2, 4, 8, …► 2¹, 2², 2³, …
	3, 9, 27, …► 3¹, 3², 3³, …

3. Piensa y contesta. Ayúdate con algún ejemplo si lo necesitas.

Si dos potencias tienen el mismo exponente y distintas bases, ¿cuál de las dos potencias es mayor?
Si dos potencias tienen la misma base y distintos exponentes, ¿cuál de las dos potencias es menor?

4. Escribe la expresión polinómica de cada número.

3.567
15.094
607.108

7.010.045
30.608.001
204.600.070

5. Calcula si puedes cada raíz. Si no puedes, halla entre qué dos números está comprendida.

$raíz cuadrada de 16$
$raíz cuadrada de 14$
$raíz cuadrada de 25$
$raíz cuadrada de 34$
$raíz cuadrada de 81$
$raíz cuadrada de 1$

$raíz cuadrada de 100$
$raíz cuadrada de 49$
$raíz cuadrada de 62$
$raíz cuadrada de 80$
$raíz cuadrada de 25$
$raíz cuadrada de 36$

6. Piensa y contesta.

Manuel parte un tablero en 4 trozos iguales. Después, cada uno de ellos lo parte en otros 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos trozos tendrá después de cinco veces?

Rita ha hecho un puzle cuadrado con 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas ha puesto en cada lado del puzle? ¿Cuántas habría puesto si el puzle tuviera 17 piezas menos?

Repaso acumulativo

1. Escribe cada número y halla su descomposición.

El menor número par de ocho cifras que acaba en 6.
El mayor número impar de nueve cifras con todas sus cifras distintas.
El mayor número de siete cifras cuya cifra 8 vale 800.000 U.

2. Calcula.

275.286 + 199.999
670.140 + 85.718
719.084 – 535.801
903.104 – 67.909

189 × 406
375 × 850
4.587 : 59
75.087 : 264

3. Escribe cada expresión y calcula.

Suma 3 a 9 y divide el resultado entre 2.
Multiplica 8 por la diferencia de 15 y 7.
Multiplica 8 por 7 y resta 15 al resultado.
Divide 24 entre la suma de 2 y 6.
Divide 24 entre 2 y luego suma 4.

4. En la caja de una tienda hay 18 billetes de 20 € y 7 de 10 €. Un cliente paga un jersey de 40 € con un billete de 50 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja después de esa venta?

5. Para pagar una cena, un grupo de 5 amigos pone 30 € cada uno. Les devuelven 3 billetes de 10 € y dejan 5 € de propina. ¿Cuánto dinero han gastado en total?

6. En una tienda han comprado 20 lavadoras a 350 € cada una y han subido su precio 35 €. ¿Cuántas lavadoras, como mínimo, tienen que vender para no perder dinero? ¿Qué beneficio podrán obtener como máximo?

2. Ponte a prueba

Evalúate

Demuestra tu talento

La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de un número es 2. ¿Cuál es ese número?

,
Sie haben die Einheit beendet.

Unten sehen Sie, wie viel Zeit Sie gebraucht und welche Punktzahl Sie erreicht haben.

Zeit

Punktzahl

27.069 =	20.000	+	7.000	+	60	+ 9
	▼		▼		▼
27.069 =	2 × 10.000	+	7 × 1.000	+	6 × 10	+ 9
	▼		▼		▼
27.069 =	2 × 10⁴	+	7 × 10³	+	6 × 10	+ 9

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Para comenzar

¿Por qué hay tantas bacterias?

Productos de factores iguales

Cuadrados y cubos

1. Potencias

Problemas

2. Potencias de base 10

3. Expresión polinómica de un número

Razonamiento

4. Raíz cuadrada

Problemas

Saber hacer

Analizar la difusión de una noticia

Para terminar

1. Repasa lo esencial

Actividades finales

Repaso acumulativo

2. Ponte a prueba

Evalúate

Demuestra tu talento