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      Potencias y raíz cuadrada
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      Para comenzar

      P

       

       

       

       

       

        ¿Por qué hay tantas bacterias?   

      En un litro de agua de mar o en un gramo de tierra fértil es posible encontrar hasta mil millones de bacterias. ¿Cómo es posible que haya tantas?
      Las bacterias son organismos vivos unicelulares, es decir, están formadas por una sola célula, y se reproducen por división, obteniéndose dos nuevas bacterias iguales a la original cada vez que se dividen.
      Normalmente el proceso de división puede tardar una o dos horas, pero algunas bacterias, si las condiciones de temperatura y humedad son buenas, pueden llegar a duplicarse en veinte minutos. ¡A ese ritmo, en doce horas y partiendo de una sola bacteria, superarían en número a la población humana actual!

       

       

      1. Si una bacteria se divide cada hora, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora? ¿Y de 2 horas? ¿Y de 3 horas?

         
      2. ¿Qué operaciones has hecho para responder a la actividad 1? ¿Puedes expresarlas de otra forma?

         
      3. Si a las 4 horas en condiciones óptimas hay 2 × 2 × 2 × 2 = 16 bacterias, ¿cuántas habrá a las 5 horas?

         
      4. ¿Cuántas bacterias habría al cabo de 9 horas? ¿Cuántas horas serían necesarias para que hubiera más de 1.000 bacterias?

         
      5. EXPRESIÓN ORAL. ¿A qué número de horas corresponde el número de bacterias obtenido con la expresión 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2? ¿Cómo lo has averiguado?

       

      ¿Qué sabes ya?

        Productos de factores iguales

       

      Factores

      		  

      Producto

      |     |     |

      		  

      |

      7 × 7 × 7

      =

      343

       

      Factores

      		  

      Producto

      |       |       |       |

      		  

      |

      10 × 10 × 10 × 10

      =

      10.000

       

      Cuadrados y cubos

       

       

      1. Calcula y escribe.

      • 3 × 3 × 3 × 3
      • 4 × 4 × 4 × 4 × 4
      • 2 × 2 × 2 × 2
      • 5 × 5 × 5
      • 10 × 10 × 10
      • 7 × 7

       

       

      2Completa las afirmaciones siguientes.

       

       

      1. Potencias
      Potencias y raíz cuadrada
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      1. Potencias

      P

       

       

       

       

       

      Para estudiar

      Raúl tiene cajas de botes de tomate.
      En cada caja hay 3 filas con 3 botes en cada una.
      Las cajas están en paquetes de 3 cajas y Raúl
      tiene 3 paquetes. ¿Cuántos botes tiene?

      Número de botes por caja ► 3 × 3 = 9
      Número de botes por paquete ► 3 × 3 × 3 = 27
      Número de botes en total ► 3 × 3 × 3 × 3 = 81

      Raúl tiene 81 botes de tomate.

      Los productos de factores iguales se expresan en forma de potencia. 
      Las potencias están formadas por una base y un exponente.

      Las potencias anteriores se leen así:

      32

      		 ►

      3 al cuadrado o 3 elevado a 2.
      33 ►

      3 al cubo o 3 elevado a 3.
      34 ►

      3 a la cuarta o 3 elevado a 4.

       
      Una potencia es un producto de factores iguales.
      El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite es el exponente.

       

      1Completa cada afirmación.

      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      2Forma todas las potencias posibles y escribe cómo se leen.

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
      3Relaciona correctamente.

       

      4Marca el punto de las afirmaciones y de las igualdades correctas.

       

       

      Problemas

      5Oberva el número de pilas que contiene cada paquete y escribe la potencia que resuelve el problema y su resultado.

      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      6Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia.

      • En un barrio hay 9 urbanizaciones.
        Cada urbanización tiene 9 bloques. 
        En cada bloque hay 9 rellanos.
        En cada rellano hay 9 pisos.
        ¿Cuántos pisos hay en todas las urbanizaciones?

         
      • Un club de ajedrez fue fundado hace 5 años por 3 amigos.
        Tuvo éxito y cada año el número de socios era el triple del año anterior.
        ¿Cuántos socios tiene ahora el club?

         
      • En un videojuego el número de pruebas que hay que superar en cada nivel es el doble de las del nivel anterior.
        Si en el nivel 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en el nivel 9?
                

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      Para comenzar
      2. Potencias de base 10
      Potencias y raíz cuadrada
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      2. Potencias de base 10

      P
      Para estudiar

      En la clase de 6.º A han calculado varias potencias de 10.

      101 =10
      102 = 10 × 10 = 100
      103 = 10 × 10 × 10 = 1.000
      104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000

       

      Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

       

       

       

      1Relaciona cada potencia con su resultado.

       

      2Completa las igualdades escribiendo en cada caja el número correcto.

      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      3Completa la tabla escribiendo los resultados de los análisis de Paula y Miguel utilizando potencias de base 10.

          Resultados Resultados utilizando potencias de base 10
      Paula Glóbulos rojos 4.870.000
      Glóbulos blancos 9.500
      Miguel Glóbulos rojos 5.210.000
      Glóbulos blancos 10.200
       

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      1. Potencias
      3. Expresión polinómica de un número
      Potencias y raíz cuadrada
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      3. Expresión polinómica de un número

      P

       

       

       

       

       

      Para estudiar

      Con las potencias de 10 podemos escribir los números.
      Esta forma de escribirlos se llama expresión polinómica.

      Observa cómo se escribe de esa forma el número 27.069.

      Se descompone y se usan las potencias de 10.

      27.069 = 20.000 + 7.000 + 60 + 9
        ▼   ▼   ▼  
      27.069 = 2 × 10.000 + 7 × 1.000 + 6 × 10 + 9
        ▼   ▼   ▼  
      27.069 = 2 × 104 + 7 × 103 + 6 × 10 + 9

       

       

       

      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      1Escribe la expresión polinómica de cada número.

      • 198
      • 3.245
      • 49.782
      • 60.342
      • 89.071
      • 209.506
      • 3.090.800
      • 70.250.230
      • 901.600.000
       

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
      2Relaciona correctamente.

       

      Razonamiento

      Ordena de menor a mayor los números de cada grupo. Fíjate bien en las potencias de 10 y los números que las multiplican.

      2. Potencias de base 10
      4. Raíz cuadrada
      Potencias y raíz cuadrada
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      4. Raíz cuadrada

      P

       

       

      Para estudiar

      Juan es repostero y quiere cortar una tarta cuadrada 
      en 25 raciones cuadradas iguales. 
      ¿Cuántas raciones habrá en cada lado de la tarta?

      Para hallarlo, hay que buscar el número que 
      multiplicado por sí mismo nos dé 25,
      es decir, el número cuyo cuadrado es 25.

      Ese número es la raíz cuadrada de 25 y se escribe raíz cuadrada de 25 .

      3 x 3 = 32 = 9
      4 x 4 = 42 = 16
      5 x 5 = 52 = 25 ► raíz cuadrada de 25 = 5
      La raíz cuadrada de 25 es 5.
      raíz cuadrada de 25= 5 porque 52 = 25.

      En cada lado de la tarta habrá 5 raciones.

       

      La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

       

       

       

      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      1Observa y completa para cada cuadrado.

      • Cada lado tiene 
         cuadrados.
      • En total hay 
         cuadrados.
      • El cuadrado de 
         es 
         .
      • La raíz cuadrada de 
         es 
        .
      • Cada lado tiene 
         cuadrados.
      • En total hay 
         cuadrados.
      • El cuadrado de 
         es 
         .
      • La raíz cuadrada de 
         es 
        .
      • Cada lado tiene 
         cuadrados.
      • En total hay 
         cuadrados.
      • El cuadrado de 
         es 
         .
      • La raíz cuadrada de 
         es 
        .
              

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
      2Calcula y completa las igualdades.

       

      3Marca los cuadrados de las afirmaciones corractas.

       

      4Marca los cuadrados de las afirmaciones corractas.

       

      Problemas

      5Completa los textos escribiendo en cada hueco el número correcto.

      3. Expresión polinómica de un número
      Saber hacer
      Potencias y raíz cuadrada
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      Saber hacer

      P

       Analizar la difusión de una noticia

      Una revista científica ha publicado una investigación acerca de cómo se propagan las noticias. Se ha analizado cómo un pequeño grupo de personas pueden influir en el resto.

      Cuando se realiza una campaña publicitaria o alguien quiere difundir una noticia, Internet puede llegar a ser una herramienta muy útil. 

       

       

      Veamos un ejemplo. Imagina que recibes un correo electrónico en el que te cuentan un descubrimiento científico. En cuanto lo recibes se lo envías a cuatro amigos.

      Cada uno de ellos al día siguiente se lo envía a otros cuatro, y así sucesivamente.

       

       

      1. Calcula y contesta.
      • Si el primer mensaje se envía hoy, ¿cuántos mensajes se enviarán mañana? ¿Y dentro de dos días? ¿Y dentro de cuatro días?
      • ¿Cómo podrías saber el número de mensajes enviados el quinto día a partir de los enviados el cuarto día? ¿Cuántos serán?
      • ¿Cuántas personas conocerían en total la noticia el sexto día? ¿Y el séptimo día?
      • Si la noticia se considera importante durante 10 días y todas las personas mandan sus 4 mensajes, ¿cuántos mensajes se enviarán el décimo día? 

       

      1. TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero y contestad.
        Responded a las cuestiones de la actividad 1 suponiendo que cada persona envía el mensaje a otras 10 personas. ¿Se difunde la noticia mucho más rápido?

       

       

       

      4. Raíz cuadrada
      Para terminar
      Potencias y raíz cuadrada
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      Para terminar

      P

      1. Repasa lo esencial

      • Actividades para escribir
      Potencias y raíz cuadrada
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      P

      Actividades finales

      1. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.
      • 7 × 7 × 7
      • 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
      • 10 × 10 × 10 × 10
      • 6 × 6
      • 8 × 8 × 8 × 8 × 8
      • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
      • 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
              

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
        
      2. Escribe 3 términos más de cada serie. Después, expresa cada término en forma de potencia.
      2, 4, 8, …► 21, 22, 23, …
      3, 9, 27, …► 31, 32, 33, … 
       

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
        
      3. Piensa y contesta. Ayúdate con algún ejemplo si lo necesitas.
      • Si dos potencias tienen el mismo exponente y distintas bases, ¿cuál de las dos potencias es mayor?
      • Si dos potencias tienen la misma base y distintos exponentes, ¿cuál de las dos potencias es menor?

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      Potencias y raíz cuadrada
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      P
        
      4. Escribe la expresión polinómica de cada número.
      • 3.567
      • 15.094
      • 607.108
      • 7.010.045
      • 30.608.001
      • 204.600.070
               

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      P
        
      5. Calcula si puedes cada raíz. Si no puedes, halla entre qué dos números está comprendida.
      • raíz cuadrada de 16 
      • raíz cuadrada de 14 
      • raíz cuadrada de 25 
      • raíz cuadrada de 34 
      • raíz cuadrada de 81 
      • raíz cuadrada de 1 
      • raíz cuadrada de 100 
      • raíz cuadrada de 49 
      • raíz cuadrada de 62 
      • raíz cuadrada de 80 
      • raíz cuadrada de 25 
      • raíz cuadrada de 36 
      •  
              

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      P
        
      6. Piensa y contesta.
      • Manuel parte un tablero en 4 trozos iguales. Después, cada uno de ellos lo parte en otros 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos trozos tendrá después de cinco veces?

       
      • Rita ha hecho un puzle cuadrado con 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas ha puesto en cada lado del puzle? ¿Cuántas habría puesto si el puzle tuviera 17 piezas menos?

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      P

        Repaso acumulativo

      1. Escribe cada número y halla su descomposición.
      • El menor número par de ocho cifras que acaba en 6.
      • El mayor número impar de nueve cifras con todas sus cifras distintas.
      • El mayor número de siete cifras cuya cifra 8 vale 800.000 U.

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      P
        
      2. Calcula.
      • 275.286 + 199.999
      • 670.140 + 85.718
      • 719.084 – 535.801
      • 903.104 – 67.909
      • 189 × 406
      • 375 × 850
      • 4.587 : 59
      • 75.087 : 264
               

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      3. Escribe cada expresión y calcula.
      • Suma 3 a 9 y divide el resultado entre 2.
      • Multiplica 8 por la diferencia de 15 y 7.
      • Multiplica 8 por 7 y resta 15 al resultado.
      • Divide 24 entre la suma de 2 y 6.
      • Divide 24 entre 2 y luego suma 4.

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      4. En la caja de una tienda hay 18 billetes de 20 € y 7 de 10 €. Un cliente paga un jersey de 40 € con un billete de 50 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja después de esa venta?

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      P
        
      5. Para pagar una cena, un grupo de 5 amigos pone 30 € cada uno. Les devuelven 3 billetes de 10 € y dejan 5 € de propina. ¿Cuánto dinero han gastado en total?

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      Potencias y raíz cuadrada
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      6. En una tienda han comprado 20 lavadoras a 350 € cada una y han subido su precio 35 €. ¿Cuántas lavadoras, como mínimo, tienen que vender para no perder dinero? ¿Qué beneficio podrán obtener como máximo?

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      2. Ponte a prueba

      Evalúate

       

        Demuestra tu talento

      1. La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de un número es 2. ¿Cuál es ese número?

       

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      Saber hacer
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      • 1Números naturales. Operaciones
      • 2Potencias y raíz cuadrada
      • 3Números enteros
      • 4Divisibilidad
      • 5Fracciones. Operaciones
      • 6Números decimales. Operaciones
      • 7División de números decimales
      • 8Proporcionalidad y porcentajes
      • 9Medida
      • 10Volumen
      • 11Áreas y volúmenes
      • 12Estadística y probabilidad
      • 13Fin de Etapa
      • 14Solución de problemas
      • 15Cálculo mental
      • 16Tratamiento de la información
      • Para comenzar
      • 1. Potencias
      • 2. Potencias de base 10
      • 3. Expresión polinómica de un número
      • 4. Raíz cuadrada
      • Saber hacer
      • Para terminar
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