Llibre digital

Què farem?

Els poliedres i la seva classificació.
Els cossos platònics.
 Els diferents punts de vista.
Estratègies de càlcul: multiplicar per 9, 99 i 999.
Resolució de problemes.
Curiositats matemàtiques.
Fem servir el que hem après

En Jordi i l’Alba han construït aquests poliedres amb Polydron i els han classificat així:

Comenteu per què han fet aquesta classificació. La seva mestra, la Marta, els ha dit que havien de tenir en compte el nombre de bases.

La mestra els diu que, per poder parlar com grans matemàtics, han de dominar el vocabulari següent: cara, aresta, vèrtex, base, cub, prisma rectangular, piràmide quadrangular, piràmide pentagonal, prisma hexagonal...

Els poliedres són figures limitades per cares planes. Els tres elements fonamentals dels poliedres són les cares (sempre polígons), les arestes i els vèrtexs.

Per exemple, aquest poliedre té: 6 cares quadrades, 12 arestes i 8 vèrtexs.

Fixa’t en aquest poliedre, copia les definicions i completa-les amb el nom corresponent:

Explica al robot quines semblances i quines diferències hi ha entre els polígons i els poliedres.

Indica el nombre de cares dels poliedres següents:

Cub

cares

Piràmide de base triangular

cares

Prisma de base pentagonal

cares

Observa aquest cub de Rubik i respon a les preguntes següents:

a) Cada cara correspon a un color; així doncs, quants colors diferents hi ha en un cub de Rubik?

b) Quants cubs el formen?

c) Quants cubs hi ha que tinguin tres cares visibles?

d) I que en tinguin dues de visibles?

e) Quants tenen una sola cara visible?

f ) I cap cara visible?

A www.espaibarcanova.cat trobaràs les radiografies dels objectes que pots veure aquí. Marca amb color les arestes de la radiografia que no veiem quan mirem l’objecte.

La Marta proposa als seus alumnes que facin d'investigadors. Demana que es reparteixin en dos grups: un grup d'alumnes ha de construir poliedres fent servir només triangles equilàters; l'altre grup ho ha de fer només amb quadrats.

Quines figures ha pogut fer cada grup? Quin és el mínim nombre de polígons que han necessitat per fer el seu poliedre?

La mestra ha agafat el cub i el tetraedre i els ha posat a la taula, juntament amb l'icosaedre, l'octaedre i el dodecaedre. Aquests poliedres, estan formats per polígons regulars?

Són els únics poliedres regulars possibles; per això Plató, un filòsof grec, els va anomenar cossos perfectes. També s'anomenen cossos platònics.

Plató va néixer a Atenes l'any 427 aC i va morir el 347 aC. Va reflexionar sobre les idees, la virtut, la veritat, la justícia, l'amor, la políticai l'educació, entre moltes altres qüestions importants.

S'anomena platònic tot el que està relacionat amb les teories de Plató.

Investiguem per què els grecs van posar aquests noms als cossos platònics.

Els grecs van associar els cossos platònics amb elements de la natura. El tetraedre era el foc, per la seva forma i pel fet que fos el més lleuger i simple de tots els poliedres. El cub o hexaedre era la terra, per la seva estabilitat i rigidesa. L'octaedre era l'aire. L'icosaedre era l'aigua, per la seva forma gairebé rodona, que simbolitzava la fluïdesa quan rodolava. I per acabar, el dodecaedre, que era l'element del cosmos, l'univers, perquè era l'element dels déus.

Copia la taula i omple-la la taula amb les dades dels cinc poliedres platònics.

Nom del poliedre	Vèrtexs	Cares	Arestes

Ara, copia la taula següent, completa-la i contesta les preguntes:

Poliedres platònics	Vèrtexs + cares	Arestes

a) Quina relació hi ha, en aquests polígons, entre la suma de vèrtexs i cares i el nombre d’arestes?

b) Per tant, podries trobar una fórmula per no haver de comptar les arestes?

Construïm cossos geomètrics amb vèrtexs i arestes

PAS A PAS

Volem construir una piràmide quadrangular.

1. Prepareu un quadrat amb 4 escuradentsi 4 boletes de plastilina.

2. Prepareu 1 boleta de plastilina amb 4 escuradents enganxats.

3. Claveu els 4 escuradents en les boletes de plastilina del quadrat.

Podeu provar de fer un cub i un prisma hexagonal.

Quin cos platònic podríeu construir amb el màxim nombre de boletes de plastilina? I amb el mínim?

Construïm poliedres

PAS A PAS

1. Penseu quins polígons formen les cares del poliedre que voleu construir i quants en necessiteu de cada un.

2. Imagineu com podeu unir els polígons de manera que, doblegant-los pels seus costats, pugueu formar el poliedre.

3. Finalment, retalleu la representació i enganxeu els costats que calgui per aconseguir construir el poliedre.

Trobareu el material retallable a www.espaibarcanova.cat

Aparella cada objecte amb els polígons que poden formar el seu desplegament. Hi ha polígons que queden desaparellats.

Construïm cossos geomètrics amb vèrtexs i arestes

Fes una llista de les canyes de refresc i les boles de plastilina que necessites per construir un prisma de base pentagonal.

Construïm poliedres

Completa els desplegaments dels prismes que trobaràs a www.espaibarcanova.cat dibuixant-ne les bases. Després, escriu el nom que tindrà cada prisma.

Dibuixa els desplegaments de les figures següents:

Vols jugar amb uns amics a un joc en què es necessita un dau per a cada un, però els has perdut.

a) Digues quins d’aquests desplegaments et podrien servir per construir un dau. Pots fer-ne la comprovació amb el material retallable que hi ha a www.espaibarcanova.cat.

b) Tingues en compte la relació que hi ha entre les cares oposades! Quant sumen els punts d’aquestes cares?

c) Quin és el nombre màxim de daus que es poden construir?

d) Ara que ja saps quins desplegaments et servirien per construir el dau, dibuixa’ls sobre la quadricula que trobaràs a www.espaibarcanova.cat i marca-hi els punts corresponents a cada cara.

En Pep, la Núria, en Jaume i l'Eva estant fent una partida de Jenga. Quina vista de la torre que han construït té cada un, segons el lloc on està assegut?

Aquí tens una vista zenital.

Després, tots quatre han jugat una partida al Jenga de colors. En Pep, l’Eva i la Núria han fet una fotografia de la torre. Sabríeu dir quina fotografia (a, b o c) ha fet cada un?

Si en Pep ha fet l’alçat, quina vista han fet l’Eva i la Núria? Podria ser que l’Eva hagués fet l’alçat? En quina situació passaria?

Busca el significat de les paraules següents i escriu-lo.

Alçat

Planta

Perfil

Copia les figures següents i pinta-les seguint les instruccions:

alçat → verd planta → groc perfil → blau

Dibuixa l’alçat, la planta i el perfil de les figures que trobaràs a www.espaibarcanova.com.

Relaciona les imatges d’alçat, planta i perfil que trobaràs a www.espaibarcanova.com amb la figura que representen.

Multipliquem ×9 ×99 ×999

En un poble petit de la comarca s’ha fet un concurs de càlculs amb el 9. La Carme ha guanyat; ha fet tots els càlculs mentalment. Fixa’t bé com ho ha fet i l’any vinent podràs guanyar el concurs.

37 × 9 = 370 – 37 = 333
34 × 99 = 3.400 – 34 = 3.366

D’on surten el 370 i el 3.400? Per què després fa una resta del nombre amb què operem?

Pensa com calcularies les operacions següents:

52 × 999 =

70 × 9 =

46 × 99 =

100 × 99 =

63 × 999 =

22 × 9 =

99 × 1 = 99

99 × 2 = 198

99 × 3 = 297

99 × 4 = 396

99 × 5 = 495

99 × 6 = Sabries continuar la sèrie?

99 × 23 = 2.277

99 × 24 = 2.376

99 × 35 = 3.465

99 × 36 = 3.564

Com faries:

99 × 47 =

i 99 × 48 =

Observa aquestes multiplicacions i explica al robot com ho faries per multiplicar qualsevol nombre per 9 i per 99.

23 × 9 = 23 × 10 = 230 – 23 = 207

43 × 99 = 43 × 100 = 4.300 – 43 = 4.257

1. Un recipient té una capacitat de 7 litres. La Clara, que té 21 anys, vol omplir 332 recipients iguals en 35 dies. Quants litres necessita per omplir-los tots?

2. L’edat de la Gisela és el doble de l’edat de l’Òscar. Si la Gisela va néixer el 26 de juny, i l’Òscar el 31 de setembre, quants anys té l’Òscar?

De vegades en els enunciats dels problemes hi falten dades i d’altres vegades n’hi sobren.

Digues quines dades falten o sobren en cada problema. Després, en el cas que puguis, resol els problemes.

Un camió porta 24 caixes de fruita, 12 caixes de verdura i 30 caixes de begudes. En total les caixes pesen 760 kg. Quant pesa el camió buit?

En una escola s'han comprat 12 diccionaris de català a 12,50 € cada un, 27 de castellà a 13 €, 13 d'anglès a 11,75 €, 14 atles a 15,30 € i 36 revistes a 3 €. Els responsables de l'escola disposen d'un tiquet regal de 500 € per comprar diccionaris. Quants diners hauran d'afegir per poder pagar els diccionaris?

A la platea d'un teatre hi caben 537 persones, i a l'amfiteatre, 320. En cada fila de la platea hi ha 20 butaques, excepte en l'última, que n'hi ha menys. A l'amfiteatre hi ha 10 files. Quantes butaques hi ha en l'última fila de la platea?

Ahir van anar a un cinema 268 persones en la sessió de les 19.00 h. D'aquestes, 1/4 eren menors de 14 anys. Les entrades per als menors de 14 anys costaven 6 €, i les de la resta d'espectadors 8,50 €. Quants diners va ingressar el propietari del cinema, que té 54 anys?