Tot i que ja saps fer operacions amb nombres naturals, és important que en repassem alguns conceptes i algunes propietats.
3.1 La suma
Com ja saps, sumar és unir, ajuntar, afegir.
Per exemple, l'equip de ciclista que veus al marge costa, en total:
583 + 162 + 45 + 38 = 828 euros
3.2 La resta
Recorda que restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.
Per exemple, si disposem de 693 € per poder comprar l'equip de ciclista, encara ens falten:
828 – 693 = 135 euros
3.3 Utilització dels parèntesis
Fixa't en les dues expressions formades pels mateixos nombres i les mateixes operacions, però amb resultats diferents:
Com pots observar, en les expressions amb operacions combinades, els parèntesis empaqueten resultats parcials i modifiquen l'ordre en què s'han de fer les operacions.
Propietat commutativa
Propietat associativa
3.4 Algunes propietats de la suma
Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l'ordre dels sumands.
a + b = b + a
Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la manera en què agrupem els sumands.
(a + b) + c = a + (b + c)
3.5 La multiplicació
Recorda que multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals.
Per exemple, si una entrada al circ costa 38 €, cinc entrades costen:
38 + 38 + 38 + 38 + 38 = 38 · 5 = 190 €
3.6 Propietats de la multiplicació
Propietat commutativa: El producte no varia encara que canviem l'ordre dels factors.
a · b = b · a
Propietat associativa: El resultat d'una multiplicació és independent de la manera en què agrupem els factors.
(a · b) · c = a · (b · c)
La propietat associativa ens permet reagrupar els termes. La propietat commutativa ens permet canviar-los d'ordre.
Propietat distributiva: El producte d'un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand.
a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c
Un lampista treballa quatre hores al matí i tres a la tarda. Si cobra 15 euros per hora, quant guanya en un dia?
Podem resoldre el problema de dues maneres:
Com pots comprovar, totes dues expressions coincideixen; es confirma, per tant, la propietat distributiva.
15 · (4 +3) = 15 · 4 + 15 · 3
Aplica-ho
a.12. Comprova que cada una de les expressions de l’esquerra és equivalent a la de la dreta. Raona les respostes.
a) 6 · (3 + 5) ←→ 6 · 3 + 6 · 5
b) 5 · 9 – 5 · 7 ←→ 5 · (9 – 7)
c) 10 · 8 – 10 · 6 ←→ 10 · 2
d) 8 · 5 ←→ 8 · 2 + 8 · 3
a.13. Calcula de dues maneres diferents:
100 · 58 + 100 · 2
3.7 La divisió
Dividir és repartir en parts iguals. Quant val cada part?
Es distribueixen 150 bombons en 6 capses iguals. Quants bombons hi haurà en cada capsa?
Dividir és partir un tot en parts d'una mida determinada. Quantes parts se n'obtenen?
Quantes capses de 25 bombons omplirem amb 150 bombons?
Divisió exacta:
Divisió entera:
Aplica-ho
a.14. Completa aquesta taula.
a.15. Un camió transporta 14 cavalls que representen una càrrega de 4.830 quilos. Quant pesa, de mitjana, cada cavall?
a.16. Cinc amics han guanyat un premi de 13.285 €. Quina quantitat correspon a cada un si ho reparteixen a parts iguals?
3.8 Quocient per defecte i quocient per excés
Diferencia les dues preguntes que es proposen sobre l'enunciat:
Per transportar una manada de 23 lleons a una reserva natural, s'utilitzen gàbies amb capacitat per a 4 animals.
a) Quantes gàbies s'omplen?
Quocient per defecte → 5
b) Quantes gàbies es necessiten?
Quocient per excés → 6
Quan una divisió no és exacta, podem aproximar el quocient per sota (quocient per defecte ) o per sobre (quocient per excés ). Escollirem un quocient o l’altre, segons quin sigui el plantejament del problema.
3.9 Ordre de la realització de les operacions
Quan resolguis expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes asseguren que cada expressió tingui un significat i una solució únics.
En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre:
Primer, els parèntesis.
Després, les multiplicacions i les divisions.
Finalment, les sumes i les restes.
Aquestes dues expressions tenen un significat diferent malgrat estar formades pels mateixos nombres i les mateixes operacions.
Fes les operacions següents :
a) 2 + 3 · 7 – 4 = 2 + 21 – 4 = 23 – 4 = 19
b) 2 + 3 · (7 – 4) = 2 + 3 · 3 = 2 + 9 = 11
c) (2 + 3) · 7 – 4 = 5 · 7 – 4 = 35 – 4 = 31
3.10 Aprèn a fer servir la calculadora
Introdueix en la calculadora aquesta seqüència:
Tot i que et sembli estrany, segons la calculadora que facis servir pots obtenir dues solucions diferents: 20 o 14.
→La calculadora fa les operacions en l'ordre en què s'introdueixen.
(2 + 3) · 4 = 20
→La calculadora fa, primer, el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.
2 + 3 · 4 = 14
No totes les calculadores, per tant, tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.
Aplica-ho
a.17. Calcula:
a.18. Què faries per obtenir amb la calculadora el resultat de cada una d’aquestes expressions? Escriu, en cada cas, la seqüència de tecles que has emprat.
a) 4 + 6 · 3
b) (4 + 6) · 3