Llibre digital

QUÈ FAREM?

Transformarem unitats.
Transformarem figures mitjançant simetries i girs.
Transformarem nombres i analitzarem els patrons que es conserven.
Fem servir el que hem après.

Cerqueu informació a internet sobre els motius pels quals el canvi d'una moneda d'un país a una altra moneda d'un altre país és diferent cada dia.

Per exemple, el canvi d'aquestes monedes a euros, el 19 de març de 2015, va ser el següent:

- 1 USD (dòlar EUA) = 0,937294967 EUR (euros)

- 1 GBP (lliura esterlina britànica) = 1,39225794 EUR (euros)

Quan cerquem informació a la Viquipèdia sobre fl oz, ens assabentem que és l'abreviatura de fluid ounce: unça líquida. També esbrinem que és una mesura de volum utilitzada freqüentment als països anglosaxons per indicar el contingut d'alguns recipients. L'unça líquida britànica és igual a 28,4130625 ml i l'unça líquida nord-americana és igual a 29,5735295625 ml.

Amb aquesta informació, podeu descobrir si el producte que hi ha en la imatge és nord-americà o britànic.

De tota manera, l'unça líquida no és l'única unitat de mesura de volum que utilitzen en aquests països. Allí un líquid com la llet també s'acostuma a mesurar en «pintes». A Anglaterra, una pinta són 20 unces líquides (britàniques) i, als Estats Units, una pinta són 16 unces líquides (nord-americanes).

Amb les dades anteriors podríeu saber on us donarien més llet, si a Anglaterra o als Estats Units, en el cas que en demanéssiu una pinta. I veuríeu que en tots dos casos us donarien aproximadament mig litre de beguda.

El calendari que fem servir a Europa s'anomena calendari gregorià. Ja sabeu que s'hi alternen els anys comuns, de 365 dies, i els de traspàs, de 366, repartits en 12 mesos, que tenen una durada entre 28 i 31 dies. Però aquest calendari no es fa servir a tot el món. També es fan servir el calendari xinès, el calendari jueu, el calendari hindú, el calendari musulmà, etc.

Per exemple, en el calendari musulmà els anys poden tenir 354 o 355 dies.

En ser més curts que els anys del nostre calendari, 33 anys del calendari musulmà equivalen a 32 anys del calendari gregorià. Però hi ha una altra diferència important: l'any 0 del calendari musulmà va ser l'any 622 del calendari gregorià.

Per tant, si volem saber, aproximadament, quin any del calendari musulmà correspon a una data del nostre calendari, podem fer servir aquestes equivalències:

G = (H + 622) × 32 : 33
H = (G - 622) × 33 : 32

G = any en el calendari gregorià i H = any en el calendari musulmà (per al calendari musulmà s'acostuma a fer servir la lletra H com a abreviatura de l'hègira, un esdeveniment històric que indica el començament d'aquest calendari).

Per exemple, una part de l'any 2015 del calendari gregorià correspon a l'any 1436 i, a partir del 15 d'octubre, a l'any 1437.

H = (2015 – 622) × 33 : 32 = 1436,53…

Hem consultat a la vegada la temperatura de Barcelona i de Nova York, tal com es veu en les imatges:

Òbviament, la temperatura no es mesura en les mateixes unitats als Estats Units que aquí. Allà mesuren la temperatura en graus Fahrenheit i aquí ho fem en graus Celsius. Per comparar les dues temperatures, hem d'expressar-les en el mateix tipus de graus.

Per convertir els graus Fahrenheit a graus Celsius, i a la inversa, hem de fer les operacions següents:

°F = °C × 1,8 + 32
°C = (°F - 32) : 1,8

Observa les imatges i respon:

a) Quina temperatura en ºC tenen a Nova York?

b) A quina temperatura màxima en ºC arribaran aquesta setmana a Nova York?

c) Creus que a Nova York, en algun moment de l'any, la temperatura podria arribar a 100 ºF?

d) Per què creus que les imatges mostren un sol a Barcelona i una lluna a Nova York si representen el temps que fa a les dues ciutats al mateix moment?

Transformem aquesta figura amb les regles següents: dos quadradets del mateix color que comparteixen un costat es poden transformar eliminant un dels dos quadradets i canviant de color l'altre. La transformació acaba quan no queden dos quadradets del mateix color compartint un costat.

A	B	C	D
E	F	G	H
I	J	K	L

Per exemple:

		BC
AE	F		DH
	IJ	GK	L

Obtenim aquesta figura fent els canvis següents:

- AE eliminant A i pintant E de blau.
- BC eliminant B i pintant C de blau.
- IJ eliminant I i pintant J de blau.
- GK eliminant G i pintant K de blau.
- DH eliminant D i pintant H de blau.

		BC
AE	F		DH
	IJ GK		L

Obtenim aquesta altra figura fent els canvis següents:

- IJGK eliminant GK i pintant IJ de verd.

		BC
AE	FIJ GK		DH
			L

Obtenim aquesta altra figura fent els canvis següents:

- FIJGK eliminant IJGK i pintant F de blau.

	BC
AEFI JGK		DH
		L

Obtenim aquesta altra figura fent els canvis següents:
- AEFIJGK eliminant AE i pintant FIJGK de verd.

Ja no es pot fer cap altra transformació.

Feu les transformacions que calguin per transformar la figura anterior de manera que la figura final compleixi aquestes condicions:

a) Tingui com a màxim dos quadradets.

b) Tingui com a mínim vuit quadradets.

c) Tingui tots els quadradets del mateix color.

Simetries i girs

Si tenim aquest símbol fet amb tinta fresca i pleguem el paper per la línia puntejada, la figura quedarà impresa a l'altra part del full.

Quina creieu que serà la imatge final?

Traieu conclusions sobre la relació entre la figura original i la impresa. Per exemple, quina és més gran? Quina és més lluny de la línia puntejada?

Com quedaria la figura impresa si el plec fos diferent?

Un pentòmino és una figura formada per cinc quadrats units pels costats. Només n'hi ha dotze de diferents: els que apareixen en la imatge que, com podeu veure, s'anomenen amb lletres de l'abecedari.

Podríem pensar que aquí hi falten possibilitats de figures formades per cinc quadrats units pels costats, però, en realitat, no és així. Vegem-ne un exemple:

Aquesta figura no hi és, perquè entre les dotze de la imatge n'hi ha una altra que és la mateixa «transformada»: la peça Y. La transformació és una simetria horitzontal.

Utilitzem algunes icones per representar les transformacions que podem aplicar a les peces.

Simetritzar horitzontalment.

Girar 90º en sentit horari.

Simetritzar verticalment.

Girar 90º en sentit antihorari.

Identifiqueu la lletra a la qual correspon cada una de les figures següents i les transformacions necessàries per fer-ho.

REPTE

Copieu les figures dels dotze pentòminos de la pàgina anterior en un full quadriculat i retalleu-les. Després, construïu un rectangle amb aquestes figures.

De vegades hi ha més d'una manera d'aplicar les transformacions per arribar al mateix resultat. Per exemple, si volem girar una figura 90º en el sentit de les busques del rellotge, podem fer-ho girant-la tres vegades 90º en sentit antihorari.

O sigui que: =

Discutiu per què són certes les igualtats següents:

=

Eixos de simetria

Els eixos de simetria permeten classificar els triangles de la manera següent:
a) Si no té cap eix de simetria, el triangle és escalè.

b) Si en té algun, el triangle és isòsceles.

c) Si en té més d'un, el triangle és equilàter.

Feu el mateix per classificar els quadrilàters següents.

Quins eixos de simetria té un quadrat i quants són?
Quins eixos de simetria té un rectangle i quants són?
Quins eixos de simetria té un rombe i quants són?

Retalleu un quadrilàter de cada tipus i verifiqueu el que hem afirmat fent-hi els plecs corresponents.

Utilitzeu també paper per verificar que un paral·lelogram com el de la figura no té cap eix de simetria.

En la graella següent cada quadradet mesura 1 cm de costat.

a) Calcula l'àrea i el perímetre de la figura verda.

b) Transforma la figura verda canviant de lloc únicament un dels seus quadradets, de manera que la figura no es trenqui i el perímetre de la nova figura sigui més gran. Dibuixa-la i pinta-la de color vermell. Què ha passat amb la seva àrea?

c) Transforma la figura verda en una altra canviant de lloc únicament un dels seus quadradets, de manera que el perímetre de la nova figura sigui més petit. Dibuixa-la i pinta-la de color blau. Què ha passat amb la seva àrea?

d) Dibuixa figures diferents que tinguin el mateix perímetre que la figura verda.

En unes graelles com aquesta pots dibuixar-hi figures de 12 cm de perímetre.

Quantes solucions realment diferents pots trobar?

Simetries i girs

Observa els codis següents i aplica les transformacions indicades en les figures.

Girar 90º en sentit horari.

Girar 90º en sentit antihorari.

Simetritzar.

El Tetris és un videojoc, inventat per l'enginyer informàtic rus Aleksei Pàjitnov l'any 1985 mentre treballava a l'Acadèmia de Ciències de Moscou, inspirat en els puzles amb pentòminos però amb dues diferències:

- Les peces estan formades per quatre quadrats units pels costats.

- De totes les maneres possibles de dissenyar figures amb quatre quadrats units pels costats no es consideren peces diferents aquelles que es poden obtenir girant, però sí que es consideren peces diferents aquelles que es poden obtenir simetritzant.

Dibuixa les set peces del Tetris. Amb quina lletra identificaríeu cada peça?

Cerqueu el joc del Tetris a internet. Ara és el moment de jugar-hi!

S'hi juga de la manera següent:

Les peces, en diferents disposicions, cauen des de la part superior de la pantalla. El jugador no pot impedir aquesta caiguda, però pot decidir el lloc on caurà la peça, prement les tecles o , i també pot decidir en quina posició quedarà girant la peça 90º mitjançant la tecla tantes vegades com vulgui. Quan una línia horitzontal es completa, aquesta línia desapareix i totes les peces que hi ha a sobre cauen una posició. El joc s'acaba quan ja no hi ha lloc perquè caiguin noves peces.

Fem una rajola amb les instruccions següents:

Requadre I: fixa’t en el dibuix.
Requadre II: fes el mateix dibuix del requadre I amb un gir .
Requadre III: fes el mateix dibuix del requadre II amb un gir .
Requadre IV: acaba la rajola fent el mateix dibuix del requadre III amb un gir .

Eixos de simetria

Copia amb color vermell totes les tecles que corresponen a lletres amb un eix de simetria i amb blau les que corresponen a lletres amb més d'un eix.

En un teclat amb alfabet grec:

En un teclat amb alfabet llatí:

En un teclat amb alfabet ciríl·lic:

Copia aquestes quadrícules i pinta la quantitat mínima de quadradets perquè les figures tinguin simetria respecte als eixos que s'indiquen.

Per què creus que l'enunciat demana la quantitat «mínima» de quadradets?

Fins ara hem estudiat transformacions aplicades a mides o a figures, però també podem transformar nombres. Veiem un primer exemple de com, malgrat transformar els nombres, hi ha patrons que es mantenen.

El nombre 6174 és conegut com la constant de Kaprekar en honor al descobridor d'una interessant propietat d'aquest nombre: si seguim els passos següents, sempre arribarem fins al nombre esmentat.

1. Trieu qualsevol nombre de quatre dígits (no poden ser tots quatre iguals).

2. Ordeneu els dígits, primer en ordre descendent i després ascendent, i feu la resta entre els nombres resultants.

3. Repetiu el pas anterior, tantes vegades com calgui, amb el resultat de la resta (afegint-hi zeros a l'esquerra sempre que sigui necessari per completar els quatre dígits) fins que us doni 6174.

Exemples:

Començant amb el nombre 2345:

5432 - 2345 = 3087

8730 - 0378 = 8352

8532 - 2358 = 6174

Començant amb el nombre 1211:

2111 - 1112 = 0999

9990 - 0999 = 8991 (Compte! No fem 999 - 999.)

9981 - 1899 = 8082

8820 - 0288 = 8532

8532 - 2358 = 6174

REPTE

Trobeu la constant de Kaprekar per a nombres de tres xifres.

Analitzem com es transformen diferents nombres seguint les regles següents: si el nombre és parell, el dividim entre 2 i, si és senar, el multipliquem per 3 i hi sumem 1. Al valor resultant hi tornem a aplicar les mateixes regles, una vegada i una altra.

En la imatge següent hi ha dos exemples: el primer, començant amb el 3 i el segon, començant amb el 21:

En tots dos casos es veu que, després d'algunes etapes, s'arriba al 4, després al 2 i després a l'1. Com que aquest nombre és senar, ens portarà una altra vegada al 4, i així entrarem en un cercle sense sortida.

Experimenteu que passa el mateix si comenceu amb altres nombres, per exemple, el 6, el 7 o el 9.
Els matemàtics, amb l'ajuda d'ordinadors, han fet proves amb moltíssims nombres (milions i milions de nombres) i sempre han acabat en el cicle 4, 2, 1, però encara no sabem del cert si pot existir un nombre -amb el qual encara no han pogut fer proves- que sigui l'excepció de la regla. Aquest problema en matemàtiques es coneix com a conjectura de Collatz.

Com canvia la paritat amb les transformacions?

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Aquesta taula s'omple multiplicant el nombre que encapçala la fila pel que encapçala la columna. És a dir, que en la casella pintada de color taronja hi anirà el nombre 15.

Si pintem de color taronja totes les caselles amb un resultat senar i de color verd les caselles amb un resultat parell, quin color creus que predominarà? Pots dir quantes caselles hi haurà de cada color sense omplir la taula?

Si multipliquem un nombre parell per un altre nombre enter (ja sigui parell o senar), el resultat sempre és un nombre parell. Però, quan multipliquem un nombre parell per un nombre decimal, no sempre resulta un nombre enter, per la qual cosa no podem classificar-lo en parell o senar.

Per exemple: 454 × 3,25 = 1.475,5

Multipliqueu altres nombres parells per 3,25. Quins tipus de resultats obteniu?

Continuem reflexionant sobre què passa quan multipliquem un nombre parell per un nombre decimal.

Comproveu que, si multipliqueu qualsevol nombre parell per 0,5, sempre s'obtenen nombres enters. Doneu una raó per explicar aquest fet.
Creieu que hi ha algun nombre parell que multiplicat per 1,3 doni com a resultat un nombre enter?

Tria un nombre de 3 xifres tals que la primera i l'última xifra no siguin iguals ni nombres consecutius. Aplica-hi les transformacions següents:

- Agafa el nombre que has triat, inverteix-lo (per exemple, si has triat 123, en invertir-lo, queda el 321) i efectua la resta entre els dos nombres (el més gran menys el més petit).

- Agafa el resultat obtingut, inverteix-lo i suma aquests dos nombres.

A quin nombre arribes?

Tria un altre nombre de 3 xifres (amb la primera i l'última xifra que no siguin iguals ni nombres consecutius) i torna a aplicar les transformacions explicades abans.

A quin nombre arribes?

Tria un altre nombre de 3 xifres (amb la primera i l'última xifra diferents) i torna a aplicar les transformacions explicades abans.

A quin nombre arribes?

Quina conclusió pots treure de les parts anteriors?

Per què creus que es demana que la primera i l'última xifra siguin diferents?

REPTE

Què passaria si la primera i l’última xifra fossin nombres consecutius (per exemple: 253)?

En l'activitat anterior hem tret una conclusió a partir d'analitzar alguns casos. Aquesta manera de treballar té alguns inconvenients, perquè hi ha patrons que tard o d'hora es trenquen. Aquí en veurem alguns exemples:

a) Analitza com es transforma el nombre 37 quan el multipliques per múltiples de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, etc. Redacta les teves conclusions.

b) Analitza com es transforma el nombre 1.443 quan el multipliques per múltiples de 7: 7, 14, 21, 28, etc. Redacta les teves conclusions.

c) Analitza com es transforma el nombre 15.873 quan el multipliques per múltiples de 7: 7, 14, 21, 28, etc. Redacta les teves conclusions.

Hi ha vegades en què el patró va canviant i finalment desapareix.

Analitza com es transforma el nombre 9.091 quan el multipliques per múltiples d'11: 11, 22, 33, etc.

9.091 × 11 =

9.091 × 22 =

9.091 × 33 =

9.091 × 44 =

...

9.091 × 99 =

Redacta les teves conclusions.

Quin és el patró per als múltiples d'11 entre 110 i 1.089?

9.091 × 110 = ...
9.091 × 121 = ...
9.091 × 132 = ...

9.091 × 143 = ...

...

9.091 × 1.089 = ...

Quin és el patró per als múltiples d'11 entre 1.100 i 10.989?

9.091 × 1.100 = ...

9.091 × 1.111 = ...

9.091 × 1.122 = ...

9.091 × 1.133 = ...

...

9.091 × 10.989 = ...

Quin és el patró per als múltiples d'11 entre 11.000 i 109.989?

9.091 × 11.000 = ...

9.091 × 11.011 = ...

9.091 × 11.022 = ...

9.091 × 11.033 = ...

...

9.091 × 109.989 = ...

Quin és el patró per als múltiples d'11 entre 110.000 i 1.099.989?

9.091 × 110.000 = ...

9.091 × 110.033 = ...

9.091 × 110.011 = ... ...

9.091 × 110.022 = ...

9.091 × 1.099.989 = ...

En el llibre hem vist que, quan es transformen nombres seguint les regles següents (si el nombre és parell, el dividim entre 2 i, si és senar, el multipliquem per 3 i hi sumem 1), sempre s'acaba caient en un cicle que passa pels nombres 4, 2 i 1 i no acaba mai.

Ara, canviem lleugerament aquestes regles: si el nombre és parell, el dividim entre 2 i, si és senar, el multipliquem per 3 i en restem 1.

Per exemple:

Podria semblar que, malgrat el canvi, continuaria passant el mateix; però no és sempre així. Analitza què passa quan comences amb els nombres 40, 100 i 3.

En aquesta activitat només hi ha dues transformacions permeses: pots sumar-n'hi 7 o pots restar-ne 2.

Podem transformar el nombre 132 en el nombre 140 d'aquesta manera:

Si volem transformar el nombre 90 en el nombre 7, el camí de transformacions és llarg, però el podem abreujar de la manera següent:

a) Transforma l'1 en el 20.

b) Transforma el 27 en el 40.

c) Transforma el 30 en el 29.

d) Transforma el 20 en el 5.

e) Tria un nombre entre 10 i 20 i un altre entre 30 i 40; transforma el petit en el gran.

Com canvia la paritat amb les transformacions?

Aquesta taula s'omple sumant el nombre que encapçala la fila amb el que encapçala la columna. És a dir, que en la casella pintada de color taronja hi anirà el nombre 15.

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
4
5
6
7
8
9

a) Si pintem de color taronja totes les caselles en les quals queda un resultat senar i de color verd les caselles en les quals queda un resultat parell, quin color creus que predominarà? Pots dir quantes caselles hi haurà de cada color sense omplir la taula?

b) Completa les frases següents:

- Quan sumes un nombre parell amb un altre nombre parell, el resultat és .

- Quan sumes un nombre parell amb un altre nombre senar, el resultat és .

- Quan sumes un nombre senar amb un altre nombre senar, el resultat és .

- Quan sumes tres nombres parells, el resultat és .

- Quan sumes tres nombres senars, el resultat és .

- Quan sumes dos nombres parells i un de senar, el resultat és .

- Quan sumes dos nombres senars i un de parell, el resultat és .

En la unitat «Dibuixar» heu fet mosaics semiregulars i en la unitat «Mesurar» heu fet mosaics triangulars. En aquesta activitat farem mosaics amb quadrilàters tots iguals.

Dissenyeu un quadrilàter tan irregular com vulgueu, dibuixeu-lo en una cartolina que us serveixi com a patró i organitzeu-vos per obtenir molts quadrilàters iguals amb els fulls d'alguna revista que sigui per reciclar.
Per formar el mosaic, heu de seguir les instruccions que hi ha a continuació:

Hem reflexionat sobre el fet que estem envoltats d'informació i que per poder-la interpretar cal transformar-la: convertir una dada expressada en centímetres a una dada expressada en metres, convertir una mida expressada en polzades a una altra d'expressada en centímetres, convertir un preu expressat en dòlars a un altre d'expressat en euros, etc.

En alguns països utilitzen unitats molt diferents de les nostres: als Estats Units la temperatura es mesura en °F, a Anglaterra el volum de llet d'un bric es mesura en unces líquides, al Japó es paga en iens, etc.

Les figures geomètriques també es poden transformar. Els girs i les simetries són exemples d'aquestes transformacions que es poden aplicar a les figures.

No hi ha un camí únic per transformar una figura en una altra; a vegades el resultat és el mateix tant si apliquem un gir com si fem primer una simetria i després una altra.

Moltes vegades, per adonar-nos que dues figures són iguals, una l'hem de transformar mitjançant girs o simetries, perquè, d'aquesta manera, no canvien ni la forma ni la mida.

A més a més de les unitats de mesura i de les figures, també es poden transformar els nombres i, malgrat que es transformin, de vegades hi ha patrons que es conserven i que es poden estudiar.

La descoberta de patrons és una part molt interessant de les matemàtiques, però hem de ser molt curosos de no treure conclusions més generalitzades del que toca.

Aquesta és la caràtula del disc Els millors professors europeus dels Manel. De quantes maneres es poden asseure en aquestes cadires l'Arnau Vallvé, en Roger Padilla, en Martí Maymó i en Guillem Gisbert?

Aquest és el calendari de concerts amb els quals Manel va presentar el seu disc Atletes baixin de l'escenari.

Quins són els dos concerts més seguits? I els més separats?
Quantes hores van passar des de l'inici del concert del 20 de juliol fins a l'inici del concert del 22 de juliol?
Quants dies han transcorregut entre les dates del primer i l'últim concert?
El dia 1 de juliol de 2013 va ser dilluns. En quin dia de la setmana es van escaure els tres concerts que va oferir el grup aquell mes?

En el llenguatge quotidià es fan servir diferents expressions equivalents per indicar a quina part del total ens estem referint (fraccions, percentatges, etc.).
Totes les fraccions es poden expressar amb un nombre decimal. Els percentatges són fraccions amb denominador 100.

Quan una figura no és un polígon, l’àrea es pot aproximar a partir del càlcul de l’àrea de rectangles o triangles.
És possible trobar una figura amb una àrea més gran que una altra, però amb un perímetre més petit.
L’explicació correcta dels procediments de construcció d’una figura assegura que, si una altra persona segueix els passos i utilitza els estris de geometria, obtindrà una figura igual.

Els gràfics estadístics, la mitjana, la mediana, el rang... són maneres de descriure conjunts de dades. Són simplificacions que faciliten la interpretació d'aquestes dades, però poden conduir a conclusions equivocades si no es llegeixen amb cura.
La mitjana entre dades experimentals ens ajuda a minimitzar els errors.

Per donar la resposta a problemes relacionats amb les divisions, s'ha de considerar tant el quocient de la divisió com el seu residu i el context del problema.
Es poden trobar tots els divisors d'un nombre per diferents camins, però sempre s'ha de fer la feina de manera sistemàtica per no oblidar-se'n cap.

Els tres elements característics dels poliedres són les cares, les arestes i els vèrtexs. Entre el nombre de cares, arestes i vèrtexs de piràmides, prismes i bipiràmides hem trobat interessants patrons de regularitat.
El volum d'un prisma rectangular es calcula amb la llargada, l'amplada i l'alçada.

Les potències serveixen per abreujar multiplicacions (quan tots els factors són el mateix nombre) i nombres grans (com els que apareixen sovint entre les dades científiques).
Quan l'exponent d'una potència és 2 o 3, fem servir les expressions «elevem al quadrat» o «elevem al cub» per l'estreta relació que tenen aquestes potències amb les figures geomètriques esmentades.

Quan fem una operació combinada hi ha unes regles d'ordre que hem de respectar per assegurar que el resultat sigui el correcte. No totes les calculadores respecten aquest ordre, per la qual cosa som els usuaris els que hem de controlar això.
En el dia a dia no sempre necessitem saber el resultat d'un càlcul de manera exacta, sinó aproximada; per això a vegades arrodonim el resultat i de vegades diem entre quins valors ha d'estar aquest resultat.

La distància de tots els punts de la circumferència al centre és la mateixa. Aquesta propietat fa que trobem aquesta corba en molts objectes de la vida quotidiana.
En el càlcul del perímetre i de l'àrea d'un cercle hi intervé un nombre que té un valor proper a 3,14 i que s'anomena π.

Estem envoltats d'informació que, per poder-la interpretar, cal transformar (convertir una dada expressada en centímetres a una altra d'expressada en metres, convertir una mida expressada en polzades a una altra d'expressada en centímetres, convertir un preu expressat en dòlars a un altre d'expressat en euros, etc.).
Les figures geomètriques també es poden transformar. Els girs i les simetries són exemples d'aquestes transformacions que es poden aplicar a les figures.

,
You have completed the lesson!

Below is the time you have spent on the activity and the score you obtained.

Time spent

Score

How can we help you?

Couldn't find what you were looking for?

Please describe the issue you are experiencing and provide as many details as possible. Let us know the book, class, access device, licence code, username, used browser or if it occcurs in our app:

Presentació

QUÈ FAREM?

Transformar unitats de mesura

Activitats

Transformar figures

Simetries i girs

Eixos de simetria

Activitats

Simetries i girs

Eixos de simetria

Transformar nombres

Com canvia la paritat amb les transformacions?

Activitats

Com canvia la paritat amb les transformacions?

Fem servir el que hem après!

He après...

PROJECTE 3. Nou pop català

AQUEST CURS HE APRÈS...