5. Simetrías y periodicidad

Aprenderás a...

Identificar funciones con simetría par o impar.
Reconocer funciones periódicas.

Simetrías

Fíjate en estas funciones:

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	4	1	0	1	4

Dos valores opuestos tienen la misma imagen.

f(−1) = 1 = f(1)
f(−2) = 4 = f(2)

Diremos que es una función par.

Una función tiene simetría par si es simétrica respecto del eje de ordenadas.

f(−x) = f(x)

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−8	−1	0	1	8

Las imágenes de dos valores opuestos son opuestas.

f(−1) = −1 = −f(1)
f(−2) = −8 = −f(2)

Diremos que es una función impar.

Una función tiene simetría impar si es simétrica respecto del origen de coordenadas.

f(−x) = −f(x)

Periodicidad

Los dueños de una fábrica de televisores acaban de automatizar todo el proceso de producción: montaje de componentes, control de calidad y almacenamiento.

La duración del proceso de fabricación de un televisor es de 15 min, y cada proceso arranca cuando se produce la entrada de un aparato terminado en el almacén.

En esta gráfica se ha representado el funcionamiento de la fábrica.

Decimos que esta función es periódica porque se comporta de la misma forma en intervalos iguales de 15 min. El valor 15 recibe el nombre de período.

Una función es periódica de período T cuando el comportamiento de la función en el intervalo [x, x + T] se repite en intervalos sucesivos.

EJERCICIO RESUELTO

Estudia la simetría de estas funciones.

a) f(x) = x2

b) f(x) = 2x4 − x²

c) f(x) = x3 − x

d) f(x) = x2 − x

Solución

a) _{$f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho al cuadrado espacio igual espacio x al cuadrado espacio igual espacio f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho$}
La función es par.

b) _{$f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho elevado a 4 menos paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho al cuadrado igual 2 x elevado a 4 menos x al cuadrado igual f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho$}

La función es par.

c) _{$abrir tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo menos x al cubo paréntesis derecho menos paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual menos x al cubo más x fin celda columna celda menos f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos paréntesis izquierdo x al cubo menos x paréntesis derecho igual menos x al cubo más x fin celda fin tabla cerrar llaves flecha derecha f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual menos f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho$}
La función es impar.

d) _{$abrir tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo menos x al cuadrado paréntesis derecho menos paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho igual x al cuadrado más x fin celda columna celda menos f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos paréntesis izquierdo x al cuadrado menos x paréntesis derecho igual menos x al cuadrado más x fin celda fin tabla cerrar llaves flecha derecha tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho no igual f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin celda columna celda f paréntesis izquierdo menos x paréntesis derecho no igual menos f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin celda fin tabla$}
La función no es par ni impar.

Decide qué tipo de simetría tienen estas funciones y arrástralas a su caja correspondiente.

Par

Impar

No presenta simetría

Indica el tipo de simetría que presentan las funciones dadas por estas tablas.

x -2 -1 0 1 2

f(x) 16 1 0 1 16

Par

Impar
Correct answer

Wrong answer
x -2 -1 0 1 2

f(x) -32 -1 0 1 32

Par

Impar
Correct answer

Wrong answer

Dadas las funciones, señala si son pares, impares o no presentan simetría.

$f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos x$

$f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción 1 entre x al cuadrado$

$f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x elevado a 5 menos x$

$f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cubo menos x al cuadrado$

Estas funciones son periódicas. ¿Cuál es su período?

a) T = unidades.

b) T = unidades.

Ana ha borrado la gráfica desde el punto x = 3; selecciona el dibujo correcto sabiendo que corresponde a una función periódica de período T = 5.

Piensa que el número del dorsal de un atleta corresponde a un punto del plano mientras realiza estas pruebas:

50 m vallas
salto de longitud
salto de altura

Imaginamos que el punto, durante su movimiento, describe la gráfica de una función. ¿Cuál de las tres crees que describe una función periódica?

¿Por qué?

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Simetrías y periodicidad

5. Simetrías y periodicidad

Simetrías

Periodicidad

Actividad 26

Actividad 27

Actividad 28

Actividad 29

Actividad 30

Actividad 31. Desafío

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	16	1	0	1	16

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-32	-1	0	1	32