1. Números

En esta unidad

1. Los números reales

2. Operaciones con números enteros y racionales

3. Números decimales

4. Potencias de exponente entero

5. Radicales

6. Notación científica y unidades de medida

7. Errores

	Vamos a aprender a...	Competencias
Saberes científicos	Calcular el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente entero. Emplear adecuadamente los distintos tipos de números y sus operaciones, para resolver problemas cotidianos contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, cuando sea necesario, los resultados obtenidos. Utilizar adecuadamente la expresión decimal de números racionales para resolver y analizar situaciones cotidianas.
Lectura y comprensión	Identificar los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y utilizarlos para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa. Utilizar la notación científica y el sistema internacional de unidades para expresar cantidades de forma adecuada y precisa.
Tratamiento de la información y competencia digital	Utilizar la calculadora WIRIS para la simplificación de radicales y resolución de operaciones. Utilizar la calculadora científica para operar con los distintos tipos de números. Valorar la seguridad de una contraseña frente a los ataques de fuerza bruta y de diccionario.
Aprende a aprender ciencia	Utilizar los distintos tipos de números y sus operaciones para investigar y comprender situaciones sencillas de nuestro entorno.
La ciencia en la sociedad	Estimar y valorar el error cometido en una medida experimental, valorando la importancia de este proceso en la construcción del saber científico.
Proyecto: Crea tu propia ONG	Extraer información de la lectura de textos y el análisis de mapas. Buscar y ampliar información sobre un tema para elaborar una opinión coherente y personal. Realizar cálculos realistas orientados a la toma de decisiones. Publicar y compartir información en internet.

Antes de comenzar

Los números son una herramienta fundamental no solo para el trabajo científico sino también para nuestra vida cotidiana. Desde los números naturales, que surgen del interés de los primeros seres humanos en contar lo que había a su alrededor, pasando por los números racionales, los irracionales y los negativos, todos están presentes no solo en el saber académico, sino en nuestro día a día.

En esta unidad vamos a repasar y profundizar en sus propiedades y operaciones. Es muy importante que manejes adecuadamente los distintos conjuntos de números ya que constituyen la base sobre la que se desarrolla el resto de los contenidos de este libro.

Actividades

Indica cuáles de estos números no son números enteros:

a) –4 b) 12,5 c) –0,1 d) 1003 e) $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 5$

Si ayer la temperatura media fue de –4°C y hoy está previsto que suba 6 grados, ¿cuál será la temperatura media hoy?

Cuántos alumnos hay en PMAR II en un instituto si son la séptima parte de un total de 105 alumnos.

Pon un ejemplo del uso en la vida cotidiana de cada uno de los siguientes números:

a) 250 b) –10 c) $estilo mostrar fracciÃ³n 3 entre 4$ d) 10,55

1Los números reales

Los primeros números que conociste, los más sencillos, son los números que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4... Este conjunto de números se denomina números naturales y se representa como $normal números naturales$ .

Otro conjunto de números que ya debes conocer es el de los números negativos. Son números que utilizamos para representar infinidad de situaciones: temperaturas inferiores a 0 °C, deudas, disminuciones, etc., y se obtienen cuando a un número natural se le resta otro más grande que él.

El conjunto que forman los números naturales junto con los negativos se denomina números enteros ya que solo nos permiten realizar divisiones exactas. Para representar este conjunto utilizamos la letra $normal números enteros$ .

Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un nuevo tipo de números: los números racionales. Estos números se obtienen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de fracciones. Para representar el conjunto de los números racionales se utiliza la letra $normal números racionales$ .

Por ejemplo, $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 5 texto ,Â fin texto menos fracciÃ³n numerador 1 texto â€‰ fin texto 1 entre denominador 3 fin fracciÃ³n texto ,Â fin texto fracciÃ³n numerador 10 entre denominador 2 fin fracciÃ³n$ son fracciones.

Observa que las fracciones también pueden ser negativas.

Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar cifras decimales. Por ejemplo, $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 5$ se puede escribir 0,4.

Existen distintos tipos de números decimales:

Decimales exactos: sus cifras decimales son finitas, es decir, acaban en algún momento. Por ejemplo, 4,25 es un número decimal exacto.
Decimales periódicos puros: tienen infinitas cifras decimales que se repiten de manera regular. Por ejemplo, 12,6363636363... es un número decimal periódico puro. Su periodo es 63.
Decimales periódicos mixtos: también tienen infinitas cifras decimales pero no todas esas cifras se repiten, es decir, algunas cifras decimales no forman parte del periodo. Por ejemplo, 5,1788888... es un número decimal periódico mixto de periodo 8.

Es importante que comprendas que los números racionales contienen los números enteros ya que cualquier número entero puede escribirse como el cociente de otros dos números enteros. Por ejemplo, $estilo mostrar 3 igual fracciÃ³n 6 entre 2$ .

Por último, para completar todos los números que conoces vamos a estudiar los números irracionales. Se caracterizan porque no pueden representarse como el cociente de dos números enteros y escritos en forma decimal tienen infinitas cifras decimales pero no son periódicos.

El más conocido es el número π = 3,141592..., aunque hay otros que también se utilizan frecuentemente, como e = 2,718281... o φ = 1,618033... A este último se le conoce con el nombre de razón áurea.

Los números racionales junto con los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Este conjunto incluye todos los números que has estudiado. Se representa con la letra $normal números reales$ .

2Operaciones con números enteros y racionales

Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los números enteros y racionales.

2.1. Operaciones con números enteros

La suma de dos números enteros se resuelve siguiendo estas reglas:

Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los sumandos.

EJEMPLO

(+4) + (+7) = +11

(–1) + (–6) = –7

Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el signo del número de mayor valor absoluto.

EJEMPLO

(+5) + (–2) = +3

(–10) + (+4) = –6

Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el opuesto del segundo. Para obtener el opuesto de un número entero simplemente debes cambiarle el signo.

EJEMPLO

(+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1

(–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8

Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el signo en función de las tablas del margen.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo.

Se representa con dos barras verticales.

EJEMPLO

|+5| = 5

|–12| = 12

Reglas de los signos para la multiplicación

Positivo ⋅ Positivo = Positivo

Positivo ⋅ Negativo = Negativo

Negativo ⋅ Positivo = Negativo

Negativo ⋅ Negativo = Positivo

Reglas de los signos para la división

Positivo : Positivo = Positivo

Positivo : Negativo = Negativo

Negativo : Positivo = Negativo

Negativo : Negativo = Positivo

2.2. Operaciones con números racionales

Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.

EJEMPLO

$estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 3 mÃ¡s fracciÃ³n 5 entre 4 igual fracciÃ³n numerador 8 entre denominador 12 fin fracciÃ³n mÃ¡s fracciÃ³n numerador 15 entre denominador 12 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 23 entre denominador 12 fin fracciÃ³n$

$estilo mostrar fracciÃ³n 4 entre 5 menos fracciÃ³n numerador 3 entre denominador 10 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 8 entre denominador 10 fin fracciÃ³n menos fracciÃ³n numerador 3 entre denominador 10 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 5 entre denominador 10 fin fracciÃ³n igual 1 medio$

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de dichas fracciones respectivamente.

EJEMPLO

$estilo mostrar fracciÃ³n 7 entre 3 por fracciÃ³n 4 entre 5 igual fracciÃ³n numerador 7 por 4 entre denominador 3 por 5 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 28 entre denominador 15 fin fracciÃ³n$

$estilo mostrar fracciÃ³n 6 entre 5 por 2 igual fracciÃ³n 6 entre 5 por fracciÃ³n 2 entre 1 igual fracciÃ³n numerador 6 por 2 entre denominador 5 por 1 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 12 entre denominador 5 fin fracciÃ³n$

Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar el numerador por el denominador, y viceversa.

EJEMPLO

$estilo mostrar fracciÃ³n 5 entre 6 dos puntos 1 cuarto igual fracciÃ³n numerador 5 por 4 entre denominador 6 por 1 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 20 entre denominador 6 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n numerador 10 entre denominador 3 fin fracciÃ³n$

Números racionales

Se llaman así todos los números que pueden escribirse en forma de fracción. Incluyen:

Números naturales

$estilo mostrar 3 igual fracciÃ³n 3 entre 1$ $estilo mostrar 1 igual fracciÃ³n 1 entre 1$

Números enteros

$estilo mostrar menos 10 igual menos fracciÃ³n numerador 10 entre denominador 1 fin fracciÃ³n$ $estilo mostrar menos 1 igual menos fracciÃ³n 1 entre 1$

Números decimales exactos

$estilo mostrar 0 , 5 igual 1 medio$ $estilo mostrar menos 2 , 4 igual menos fracciÃ³n numerador 12 entre denominador 5 fin fracciÃ³n$

Números decimales periódicos puros y mixos

Actividades y tareas

Completa la siguiente tabla escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números:

	Naturales (N)	Enteros (Z)	Racionales (Q)	Reales (R)
2,45151515151...
– 6
π
13
$estilo mostrar 1 tercio$
– 0,5
0,333333...
0
12,41411411141111...
$estilo mostrar menos fracciÃ³n 3 entre 4$
1013,16

Calcula el valor absoluto de los siguientes números:

a) |+3| =

b) |–11| =

c) |0| =

d) |–25| =

e) |–1,5| =

f) |+4,66| =

Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros:

a) (+7) + (+5) =

b) (+4) + (–3) =

c) (–7) + (+1) =

d) (–11) + (–3) =

e) (–2) + (+10) =

f) (+4) – (+2) =

g) (+5) – (–6) =

h) (–1) – (+12) =

i) (–10) – (–4) =

j) (+6) – (+15) =

k) (–5) + (+7) – (–1) =

l) (+4) – (+14) + (–3) =

Resuelve:

a) 8 – 16 =

b) 5 + 1 – 7 =

c) 2 + (–4) – 12 =

d) –9 – 11 + 5 =

e) 1 – 6 – 12 =

f) –7 + 8 – (–3) =

g) –10 + 11 – 3 =

h) –5 + (–4) – (–1) =

Resuelve los siguientes productos y divisiones de números enteros:

a) (+5) ⋅ (–2) =

b) (–5) ⋅ (–4) =

c) (+11) ⋅ (+3) =

d) (–6) ⋅ (+2) =

e) (–24) : (–4) =

f) (–15) : (+3) =

g) 35 : (–7) =

h) 40 ⋅ 5 : (–8) =

Jerarquía de operaciones

Para resolver operaciones combinadas en las que aparezcan multiplicaciones, divisiones, sumas y restas debes recordar la siguiente jerarquía de operaciones:

1. Paréntesis y corchetes.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números enteros:

a) 7 – (–3) ⋅ (–6) =

b) (–4) + (–12) : (+3) =

c) –15 ⋅ 2 – (–1) ⋅ 5 =

d) 8 + (10 – 6) : (–2) =

e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5 =

f) 12 – [(–3) ⋅ 2 –7] + 2 =

g) [10 + (–2)] : (–4) + 1 =

h) 3 – (–3) ⋅ (–1) + [(–3 + 1) : (–2)] =

Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales:

a) $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 3 mÃ¡s fracciÃ³n 5 entre 4$ =
b) $estilo mostrar 1 cuarto menos fracciÃ³n 5 entre 8$ =
c) $fracción 3 entre 5 más abrir paréntesis menos 1 medio cerrar paréntesis$ =
d) $estilo mostrar fracciÃ³n 5 entre 6 menos 2$ =

e) $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 5 mÃ¡s 1 cuarto mÃ¡s fracciÃ³n 5 entre 7$ =
f) $estilo mostrar 1 tercio mÃ¡s fracciÃ³n 3 entre 4 menos fracciÃ³n 5 entre 6$ =
g) $fracción 4 entre 3 más abrir paréntesis menos fracción 2 entre 5 cerrar paréntesis menos fracción 1 entre 10$ =
h) $menos fracción 3 entre 4 menos abrir paréntesis menos fracción 4 entre 7 cerrar paréntesis más 1$ =

Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resultado siempre que sea posible:

a) $estilo mostrar fracciÃ³n 3 entre 4 por 1 quinto$ =
b) $estilo mostrar fracciÃ³n 7 entre 6 por fracciÃ³n 3 entre 2$ =
c) $estilo mostrar 1 quinto dos puntos fracciÃ³n numerador 10 entre denominador 3 fin fracciÃ³n$ =
d) $estilo mostrar fracciÃ³n 4 entre 3 dos puntos 3$ =

e) $abrir paréntesis más fracción 3 entre 2 cerrar paréntesis por abrir paréntesis menos 1 quinto cerrar paréntesis$ =
f) $abrir paréntesis menos fracción 7 entre 11 cerrar paréntesis por abrir paréntesis menos fracción 2 entre 7 cerrar paréntesis$ =
g) $2 dos puntos abrir paréntesis 1 quinto cerrar paréntesis$ =
h) $abrir paréntesis más fracción 9 entre 4 cerrar paréntesis dos puntos abrir paréntesis más 1 medio cerrar paréntesis$ =

Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales:

a) $1 quinto menos abrir paréntesis más fracción 3 entre 2 cerrar paréntesis por fracción 2 entre 5$ =
b) $menos fracción 4 entre 3 más 2 por abrir paréntesis menos 1 quinto cerrar paréntesis$ =
c) $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 3 por 1 cuarto menos fracciÃ³n 5 entre 6 dos puntos fracciÃ³n numerador 1 entre denominador 10 fin fracciÃ³n$ =
d) $1 medio por fracción 3 entre 2 más abrir paréntesis menos 1 cuarto cerrar paréntesis$ =
e) $abrir paréntesis más fracción 3 entre 4 cerrar paréntesis por abrir paréntesis más 1 medio cerrar paréntesis menos abrir paréntesis menos fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis dos puntos abrir paréntesis menos fracción 4 entre 5 cerrar paréntesis$ =

abrir corchetes abrir paréntesis fracción 2 entre 3 menos 1 cerrar paréntesis más fracción 4 entre 5 cerrar corchetes más fracción 3 entre 5

=
g)

menos fracción 2 entre 5 más abrir corchetes fracción 3 entre 2 menos abrir paréntesis menos fracción 7 entre 5 cerrar paréntesis cerrar corchetes más 1

=
h)

abrir corchetes 3 menos abrir paréntesis menos fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis cerrar corchetes dos puntos fracción 4 entre 5 más 1 medio

=
i)

estilo mostrar menos fracciÃ³n 5 entre 4 mÃ¡s fracciÃ³n 3 entre 2 por fracciÃ³n 7 entre 5 menos 2

Investiga

En esta actividad vamos a estudiar las propiedades básicas de los números naturales. Para ello vas a necesitar alrededor de 20 objetos iguales (fichas, trozos de papel, caramelos...) que sean cómodos de manipular.

Vamos a representar cada número con un conjunto de objetos equivalente. Por ejemplo, el número 6 estará representado por 6 caramelos.

a) ¿Podemos colocar los 6 caramelos formando dos filas? ¿Y cinco caramelos?

b) ¿Qué tipo de números podremos colocar siempre en dos filas y cuáles no?

c) Forma ahora dos números que no puedan organizarse como dos filas de caramelos. ¿Qué ocurre si sumamos ambos números?

d) Trata ahora de organizar todos los números del 1 al 20 formando rectángulos, aunque no sean de dos filas. ¿Cuáles se pueden poner en forma de rectángulo y cuáles no?

e) Repite el apartado anterior pero trata ahora de organizar los caramelos para formar cuadrados. ¿Qué números se pueden representar como un cuadrado de caramelos? ¿Reconoces estos números?

3Números decimales

Los números decimales son una forma de expresar los números que no son enteros. En ellos podemos distinguir una parte entera y una parte decimal separadas por una coma.

3.1. Clasificación de los números decimales

Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal.

3.1.1. Números decimales exactos

Son los que tienen un número finito de cifras decimales.

EJEMPLOS

2,1 15,05 0,0075

3.1.2. Números decimales periódicos puros

Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de forma indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo.

EJEMPLOS

5,33333... $igual 5 coma 3 con paréntesis de arriba encima$ Su periodo es 3

10,061061061... $igual 10 coma 061 con paréntesis de arriba encima$ Su periodo es 061

3.1.3. Números decimales periódicos mixtos

Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro que sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite antiperiodo.

EJEMPLOS

4,25555... $igual 4 , 2 5 con paréntesis de arriba encima$ Su periodo es 5

25,0363636... $igual 25 , 0 36 con paréntesis de arriba encima texto . fin texto..$ Su periodo es 36

3.1.4. Números irracionales

Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefinidamente.

EJEMPLOS

π = 3,14159265...

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 2$ = 1,41421356...

Los números irracionales no pueden escribirse como una fracción.

3.2. Operaciones con números decimales

3.2.1. Suma y resta de números decimales

Se resuelven de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado de alinear las comas de ambos números.

Suma y resta de decimales

Alineamos las comas:

$Syntax error from line 1 column 49 to line 1 column 95. Unexpected '<mstack '.$

3.2.2. Multiplicación de números decimales

Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resultado para que tenga tantas cifras decimales como los factores en conjunto.

3.2.3. División de números decimales

Vamos a repasar la división de números decimales mediante un ejemplo.

EJEMPLO

Divide 350,62 : 12,8

1. Eliminamos la coma del divisor:

$Syntax error from line 1 column 49 to line 1 column 152. Unexpected '<mlongdiv '.$

2. Colocamos la coma en el cociente cuando «bajamos» la primera cifra decimal del dividendo:

$Syntax error from line 1 column 49 to line 1 column 152. Unexpected '<mlongdiv '.$

3. Continuamos dividiendo:

$Syntax error from line 1 column 49 to line 1 column 152. Unexpected '<mlongdiv '.$

Cociente: 27,3

Resto: 11,8

3.3. Fracción generatriz

Como ya hemos señalado, todos los números racionales pueden expresarse en forma de fracción. A la fracción irreducible que representa un número decimal se le denomina fracción generatriz. Veamos cómo se calcula para cada tipo de número decimal:

3.3.1. Fracción generatriz de un decimal exacto

En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga:

EJEMPLO

$estilo mostrar 0 , 125 igual fracciÃ³n numerador 125 entre denominador 1 texto â€‰ fin texto 000 fin fracciÃ³n igual fracciÃ³n 1 entre 8$

3.3.2. Fracción generatriz de un decimal periódico puro

En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo:

EJEMPLO

$1 coma 3 con paréntesis de arriba encima igual fracción numerador 13 menos 1 entre denominador 9 fin fracción igual fracción 12 entre 9 igual fracción 4 entre 3$

3.3.3. Fracción generatriz de un decimal periódico mixto

En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo:

EJEMPLO

$2 , 1 texto fin texto 6 con paréntesis de arriba encima igual fracción numerador 216 menos 21 entre denominador 90 fin fracción igual fracción numerador 1 texto fin texto 95 entre denominador 90 fin fracción igual fracción 13 entre 6$

3.4. Redondeo

Se denomina redondeo a eliminar las cifras decimales a partir de una señalada. Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5, la última cifra que se escribe permanece igual.

Por ejemplo, si redondeamos a las centésimas:

4,1678 = 4,17 0,0232 = 0,02

Actividades y tareas

Clasifica los siguientes números decimales en decimales exactos, periódicos puros, periódicos mixtos e irracionales:

a) 1,2

b) 4,566666...

c) 9,121221222...

d) –4,34343434...

e) –4,5

f) 0,111919191...

g) 6,333

h) –2,013014015...

Resuelve las siguientes operaciones con números decimales:

a) 0,5 + 12,33 =

b) 32,07 – 1,25 =

c) 0,001 + 12,4 =

d) 2,3 – 10,25 =

e) 1,5 ⋅ 5,72 =

f) 3,44 ⋅ (–1,2) =

g) 24,3 : 1,5 =

h) (–5,76) : 0,03 =

i) 2,5 + 1,2 ⋅ 4,55 =

j) 3,75 – 1,2 : 0,6 =

k) 10,5 + (1,2 – 4,5) =

l) 2,4 ⋅ (1,3 + 0,75) =

m) 2,3 ⋅ 1,5 + 1,3 ⋅ 8,6 =

n) 12,5 : 2,4 – 3 ⋅ 1,6 =

ñ) 15,6 : 3 + 1,5 ⋅ 4 =

o) 3,5 – 1,2 ⋅ 0,5 + 9,3 =

Ocho amigos han pasado el fin de semana en una casa rural. El precio del alquiler es de 250 € por noche. Además, los gastos en comida han sido de 125,60 €. Calcula cuánto dinero deben pagar cada uno de ellos.

En la siguiente tabla están reflejadas las temperaturas mínimas que se han alcanzado en Madrid durante una semana de enero de 2015:

Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes	Sábado	Domingo
–3,2 °C	–3,5 °C	–2,7 °C	0,1 °C	1,3 °C	1,3 °C	2,1 °C

a) Calcula la media de estas temperaturas.

b) ¿Qué diferencia de temperatura se produjo entre el domingo y el lunes?

c) ¿Entre qué dos días consecutivos se produjo una mayor variación de temperaturas?

Halla la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:

a) $0 coma 6 con paréntesis de arriba encima$ = /
b) 12,5 = /
c) $0 , 5 3 con paréntesis de arriba encima$ = /

d) 3,4 = /

e) $5 coma 15 con paréntesis de arriba encima$ = /

f) $menos 2 coma 125 con paréntesis de arriba encima$ = /

g) $1 coma 233 con paréntesis de arriba encima$ = /

h) $menos 12 , 0 3 con paréntesis de arriba encima$ = /

i) 100,2 = /

j) $3 coma 2 con paréntesis de arriba encima$ = /

k) –4,125 = /

l) $0 coma 081 con paréntesis de arriba encima$ = /

Resuelve las siguientes operaciones escribiendo primero los números decimales en forma de fracción:

a) $0 coma 3 con paréntesis de arriba encima más fracción 2 entre 3$

b) $1 quinto por 1 coma 4 con paréntesis de arriba encima$

c) $4 coma 5 con paréntesis de arriba encima menos 1 tercio por fracción 5 entre 2$

d) $fracción 4 entre 3 más 0 coma 5 por fracción 2 entre 3 menos 1 coma 6 con paréntesis de arriba encima$

e) $fracción 2 entre 5 menos abrir paréntesis fracción 2 entre 3 más 2 coma 7 con paréntesis de arriba encima cerrar paréntesis$

Aplicación a la vida cotidiana

Un grupo de 12 alumnos quiere organizar un viaje y decide contratar un minibús. El precio es de 80 €. ¿Cuánto debe pagar cada alumno? Ten en cuenta que al tratarse de euros debes redondear a las centésimas, ya que no se puede pagar una cantidad inferior a un céntimo.

Observa los precios que encontramos en una frutería:

Sandía: 0,82 €/kg

Manzana roja: 2,10 €/kg

Naranja: 1,05 €/kg

Calcula cuánto tenemos que pagar si compramos medio kilogramo de manzanas, 3 kilogramos y medio de naranjas y un trozo de sandía que pesa 749 g.

Redondea las siguientes cantidades al orden de cifras indicado:

a) 1,245 a las decenas

b) 0,0369 a las milésimas

c) 25,5561 a las centésimas

d) $0 coma 6 con paréntesis de arriba encima$ a las diez milésimas

e) $3 , 5 1 con paréntesis de arriba encima$ a las milésimas

f) 4,5107 a las centésimas

La siguiente lista muestra los archivos que Darío quiere compartir con Adriana mediante un servicio de alojamiento online:

Archivo	Tamaño	Archivo	Tamaño
IMG_3975	5,6 MB	IMG_3981	6,3 MB
IMG_3976	12,7 MB	IMG_3982	10,1 MB
IMG_3977	8,7 MB	VID_8705	236,6 MB
VID_8702	356,8 MB	AUD_3375	12,5 MB
IMG_3978	6,1 MB	AUD_3376	21,6 MB
VID_8703	125,4 MB	AUD_3377	5 MB
VID_8704	204,2 MB	IMG_3983	8,7 MB
IMG_3979	5,9 MB	IMG_3984	10,3 MB
IMG_3980	5,6 MB	IMG_3985	7,5 MB

a) Si este servicio tiene un límite de 1 GB (1 GB = 1024 MB), ¿podría subir todos los archivos?

b) Si los va subiendo de uno en uno, ¿cuál sería el último archivo que podría subir antes de alcanzar el máximo permitido?

c) Si utiliza una herramienta para comprimir vídeo y reduce los cuatro archivos de vídeo (VID) a la mitad, ¿podrá ahora compartir con Adriana todos los archivos?

Calculadora científica

Las calculadoras científicas permiten trabajar con fracciones. La tecla que debes utilizar depende del modelo pero es muy probable que sea una de estas:

Además podemos ver el resultado como fracción o decimal. Para pasar de uno a otro se utiliza la tecla:

4Potencias de exponente entero

Comenzamos el repaso de las potencias de exponente entero recordando la definición de potencia:

Una potencia es la multiplicación de un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como indique otro número denominado exponente.

$a elevado a n espacio igual espacio pila pila a espacio por espacio a espacio por espacio a espacio por espacio... espacio por espacio a con llave horizontal de abajo debajo con n espacio v e c e s debajo$

siendo a la base y n el exponente.

Como consecuencia de esta definición tenemos que:

Al elevar cualquier número a cero siempre obtenemos uno:

a⁰ = 1

Potencia de sumas y restas

La potenciación no es distributiva respecto a la suma, es decir, la potencia de una suma no es la suma de las potencias:

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ

Lo mismo sucede con la resta.

Al elevar cualquier número a la unidad obtenemos el mismo número:

a1 = a

Vamos a ver ahora las propiedades más importantes de las potencias junto con algunos ejemplos:

Propiedades	Ejemplos
aⁿ ⋅ a^m = aⁿ⁺^m	3⁵ ⋅ 3² = 3⁷ 10⁴ ⋅ 10^–7 = 10^–3
aⁿ : a^m = a^n–m	5⁸ : 5⁶ = 5² (–2)³ : (–2)^–5 = (–2)⁸
(aⁿ)^m = aⁿ^⋅^m	(4⁶)² = 4¹² (13⁵)^–3 = 13^–15
(a ⋅ b)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ	12⁷ = (3 ⋅ 4)⁷ = 3⁷ ⋅ 4⁷
$abrir paréntesis fracción a entre b cerrar paréntesis elevado a n igual fracción a elevado a n entre b elevado a n$	$abrir paréntesis fracción 5 entre 6 cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado igual fracción 5 elevado a menos 3 fin elevado entre 6 elevado a menos 3 fin elevado$
a^–ⁿ = $estilo mostrar fracciÃ³n numerador 1 entre denominador a elevado a n fin fracciÃ³n$	8^–11 = $estilo mostrar fracciÃ³n numerador 1 entre denominador 8 elevado a 11 fin elevado fin fracciÃ³n$ (–9)^–2 = $estilo mostrar fracciÃ³n numerador 1 entre denominador parÃ©ntesis izquierdo menos 9 parÃ©ntesis derecho al cuadrado fin fracciÃ³n$
$abrir paréntesis fracción a entre b cerrar paréntesis elevado a menos n fin elevado igual abrir paréntesis fracción b entre a cerrar paréntesis elevado a n$	$abrir paréntesis fracción 4 entre 9 cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado igual abrir paréntesis fracción 9 entre 4 cerrar paréntesis al cubo$

Además es importante que recuerdes que cuando la base de una potencia es positiva, el resultado será siempre positivo. Cuando es negativa, por el contrario, pueden suceder dos cosas:

Si el exponente es un número par, el resultado es positivo.
Si el exponente es un número impar, el resultado es negativo.

EJEMPLO

(–4)² = (–4) ⋅ (–4) = 16

(–4)³ = (–4) ⋅ (–4) ⋅ (–4) = –64

Potencias en tu calculadora

Habitualmente las calculadoras científicas tienen varias teclas dedicadas al cálculo de potencias y raíces.
Por ser las de uso más habitual, muchas calculadoras incluyen teclas para calcular directamente el cuadrado o incluso el cubo de un número.

Además, si tu calculadora es científica tendrá una tecla dedicada al cálculo de potencias de cualquier exponente.

Actividades y tareas

Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 4²

b) 2⁶

c) (–3)⁴

d) (–5)³

e) $abrir paréntesis fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis al cuadrado$

f) $abrir paréntesis menos fracción 1 entre 6 cerrar paréntesis al cubo$

g) $abrir paréntesis menos fracción 2 entre 7 cerrar paréntesis elevado a 4$

h) $abrir paréntesis menos fracción 10 entre 3 cerrar paréntesis elevado a 0$

i) (–1,6)⁴

j) 4,5²

k) (–1,2)³

l) 0,5²

Escribe las siguientes potencias con exponente positivo:

a) 5^–2

b) 12^–7

c) (–3)^–6

d) $abrir paréntesis fracción 4 entre 5 cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado$

e) $abrir paréntesis menos fracción 2 entre 5 cerrar paréntesis elevado a menos 8 fin elevado$

f) $abrir paréntesis fracción 1 entre 6 cerrar paréntesis elevado a menos 4 fin elevado$

Calcula el valor de las siguientes potencias con exponente negativo. Para ello tendrás que convertirlas primero en potencias de exponente positivo:

a) 2^–3

b) 3^–5

c) (–9)^–2

abrir paréntesis fracción 7 entre 2 cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado

e) $abrir paréntesis menos fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a menos 4 fin elevado$

f) $abrir paréntesis 1 quinto cerrar paréntesis elevado a menos 5 fin elevado$

Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

a) 5³ ⋅ 5⁴

b) (13)⁷ ⋅ (–13)²

c) $abrir paréntesis fracción 2 entre 5 cerrar paréntesis elevado a 8 dos puntos abrir paréntesis fracción 2 entre 5 cerrar paréntesis elevado a 10$

d) $abrir paréntesis menos 1 medio cerrar paréntesis elevado a 5 dos puntos abrir paréntesis menos 1 medio cerrar paréntesis elevado a 7$

e) 3⁷ : 3⁴

f) (–9)⁶ ⋅ (–9)⁴

g) $abrir paréntesis fracción 4 entre 7 cerrar paréntesis al cuadrado dos puntos abrir paréntesis fracción 4 entre 7 cerrar paréntesis elevado a 5$

h) $abrir paréntesis fracción 11 entre 2 cerrar paréntesis al cubo dos puntos fracción 11 entre 2$

i) 2⁸ ⋅ 2^–3

j) 7^–6 ⋅ 7^–2

k) 16⁵ : 16^–8

l) $abrir paréntesis fracción 3 entre 2 cerrar paréntesis elevado a menos 2 fin elevado dos puntos abrir paréntesis fracción 3 entre 2 cerrar paréntesis elevado a menos 5 fin elevado$

Resuelve las siguientes operaciones:

a) $1 tercio menos abrir paréntesis fracción 3 entre 4 cerrar paréntesis elevado a menos 1 fin elevado$

b) $2 menos abrir paréntesis 1 cuarto cerrar paréntesis elevado a menos 2 fin elevado más fracción 2 entre 3$

c) $estilo mostrar fracciÃ³n 2 entre 5 menos 2 elevado a menos 2 fin elevado$

d) $fracción 2 entre 5 menos 1 tercio por abrir paréntesis fracción 5 entre 4 cerrar paréntesis elevado a menos 1 fin elevado$

e) $fracción 4 entre 5 más 3 por abrir paréntesis 1 medio cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado$

f) $2 elevado a menos 3 fin elevado más fracción 7 entre 5 dos puntos abrir paréntesis fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a menos 2 fin elevado$

Calcula:

a) (4⁷)⁵

b) $abrir corchetes abrir paréntesis fracción 2 entre 5 cerrar paréntesis al cubo cerrar corchetes elevado a 5$

c) [(–3)⁴]¹⁰

d) (6^–2)⁷

e) [(–4)³]⁵

f) $abrir corchetes abrir paréntesis fracción 4 entre 5 cerrar paréntesis elevado a menos 4 fin elevado cerrar corchetes elevado a menos 1 fin elevado$

Calcula utilizando potencias:

a) Los lapiceros que hay en 24 paquetes, cada uno de los cuales contiene 24 cajas con 24 lapiceros cada una.

b) Los naranjos que hay plantados en una huerta si hay 9 filas de 9 naranjos cada una.

c) La nota musical denominada redonda equivale a dos notas blancas. Cada nota blanca equivale a dos notas negras. Cada negra equivale a dos corcheas y cada corchea a dos semicorcheas. ¿A cuántas semicorcheas equivale una redonda?

5Radicales

Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un número a, al número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que bⁿ = a:

$estilo mostrar raÃz n-Ã©sima de a$ = b siempre que bⁿ = a

EJEMPLO

Resuelve $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 216 fin raÃz$ =

1. Descomponemos el radicando en factores primos:

2. Como es una raíz cúbica, intentamos agrupar los factores en tres grupos iguales:

216 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 =
= (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) =
= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6³

Como 6³ = 216

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 216 fin raÃz$ = 6

Los resultados que podemos obtener al calcular una raíz n-ésima dependen de si el índice de la raíz es par o impar.

5.1. Producto y división de radicales

A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario:

$estilo mostrar raÃz n-Ã©sima de a igual a elevado a fracciÃ³n 1 entre n fin elevado$ y $estilo mostrar raÃz n-Ã©sima de a elevado a m fin raÃz igual a elevado a fracciÃ³n m entre n fin elevado$

EJEMPLO

Resuelve $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 11 fin raÃz por raÃz cuadrada de 11 elevado a 5 fin raÃz igual$

1. Expresamos los radicales como potencias de exponente fraccionario:

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 11 fin raÃz por raÃz cuadrada de 11 elevado a 5 fin raÃz igual 11 elevado a 1 tercio fin elevado por 11 elevado a fracciÃ³n 5 entre 2 fin elevado$

2. Resolvemos aplicando las propiedades de las potencias:

$estilo mostrar 11 elevado a 1 tercio fin elevado por 11 elevado a fracciÃ³n 5 entre 2 fin elevado igual 11 elevado a 1 tercio mÃ¡s fracciÃ³n 5 entre 2 fin elevado igual 11 elevado a fracciÃ³n numerador 17 entre denominador 6 fin fracciÃ³n fin elevado$

Podemos expresar el resultado en forma de radical:

$estilo mostrar raÃz con Ãndice 6 y radical 11 elevado a 17 fin elevado fin raÃz$

También podemos escribir las dos raíces con el mismo índice y luego operar.

EJEMPLO

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 7 por raÃz cuadrada de 7 igual raÃz con Ãndice 6 y radical 7 al cuadrado fin raÃz por raÃz con Ãndice 6 y radical 7 al cubo fin raÃz igual raÃz con Ãndice 6 y radical 7 elevado a 5 fin raÃz$

Posibles resultados...

Siempre que podemos calcular una raíz de índice par, obtenemos dos soluciones, ya que el resultado puede ser positivo o negativo.

Por otra parte, las raíces de índice par de números negativos no tienen solución dentro de los números reales ya que no existen números reales que multiplicados por sí mismos un número par de veces den un resultado negativo.

Esto no sucede con las raíces de índice impar, ya que sí es posible encontrar números reales que, elevados a un exponente impar, den resultados negativos.

5.2. Extracción de factores de un radical

Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz.

EJEMPLO

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 11 elevado a 5 fin raÃz igual 11 elevado a fracciÃ³n 5 entre 3 fin elevado igual 11 elevado a fracciÃ³n 3 entre 3 mÃ¡s fracciÃ³n 2 entre 3 fin elevado igual 11 elevado a fracciÃ³n 3 entre 3 fin elevado por 11 elevado a fracciÃ³n 2 entre 3 fin elevado igual 11 por raÃz cÃºbica de 11 al cuadrado fin raÃz$

En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz.

EJEMPLO

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 5 elevado a 4 fin raÃz igual 5 raÃz cÃºbica de 5$

$estilo mostrar raÃz quinta de 7 elevado a 9 fin raÃz igual 7 raÃz quinta de 7 elevado a 4 fin raÃz$

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 2 al cubo por 5 fin raÃz igual 2 por raÃz cuadrada de 2 por 5 fin raÃz igual 2 raÃz cuadrada de 10 fin raÃz$

$estilo mostrar raÃz cuarta de 3 elevado a 10 fin elevado fin raÃz igual 3 por 3 por raÃz cuarta de 3 al cuadrado fin raÃz igual 9 raÃz cuarta de 3 al cuadrado fin raÃz$

En algunas ocasiones tendrás que descomponer el radicando para averiguar qué factores primos lo forman.

EJEMPLO

Simplifica extrayendo todos los factores posibles. Resuelve $estilo mostrar raÃz cuadrada de 180 fin raÃz$ =

1. Descomponemos el radicando en factores primos:

2. Como se trata de una raíz cuadrada, cada pareja de factores se convierte en un factor fuera de la raíz:

$raíz cuadrada de texto 2 ⋅ 2 fin texto por 3 por 3 por 5 fin raíz igual 2 por 3 por raíz cuadrada de 5 igual 6 raíz cuadrada de 5$

En resumen:

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 180 fin raÃz$ = 6 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$

Raíces y potencias de radicales

Para simplificar potencias y raíces de radicales, de nuevo convertimos todas las raíces en potencias.

EJEMPLO

$abrir paréntesis raíz cúbica de 2 elevado a 5 fin raíz cerrar paréntesis elevado a 4 igual abrir paréntesis 2 elevado a fracción 5 entre 3 fin elevado cerrar paréntesis elevado a 4 igual 2 elevado a fracción 5 entre 3 por 4 fin elevado igual 2 elevado a fracción 20 entre 3 fin elevado$

$raíz cúbica de raíz quinta de 10 elevado a 7 fin raíz fin raíz igual abrir paréntesis 10 elevado a estilo en línea fracción 7 entre 5 fin estilo fin elevado cerrar paréntesis elevado a blanco elevado a estilo en línea 1 tercio fin estilo fin elevado fin elevado igual$

$estilo mostrar igual 10 elevado a fracciÃ³n 7 entre 5 por 1 tercio fin elevado igual 10 elevado a fracciÃ³n numerador 7 entre denominador 15 fin fracciÃ³n fin elevado$

5.3. Suma y resta de radicales

EJEMPLO

Resuelve $estilo mostrar raÃz cuadrada de 45 fin raÃz mÃ¡s 3 raÃz cuadrada de 20 fin raÃz â€“ 11 raÃz cuadrada de 63 fin raÃz$ =

1. Descomponemos todos los radicandos en factores primos:

45 = 3² ⋅ 5

20 = 2² ⋅ 5

63 = 3² ⋅ 7

2. Extraemos todos los factores que sea posible en cada radical:

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 45 fin raÃz$ = 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 20 fin raÃz$ = 2 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 63 fin raÃz$ = 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 7$

3. Sumamos y restamos los radicales que sean iguales, dejando indicadas las sumas o restas de radicales distintos:

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 45 fin raÃz$ + 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 20 fin raÃz$ – 11 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 63 fin raÃz$ =

= 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$ + 3 ⋅ 2 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$ – 11 ⋅ 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 7$ =

= 3 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$ + 6 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$ – 33 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 7$ =

= 9 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5$ – 33 $estilo mostrar raÃz cuadrada de 7$

En resumen, solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos resultan ser el mismo radical multiplicado por distintos números. Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que podemos hacer es dejar la operación indicada.

Actividades y tareas

Completa la siguiente tabla:

Radical	Radicando	Índice	Resultado	Comprobación
$estilo mostrar raÃz cuadrada de 16 fin raÃz$	16	2	±4	4² = 16 (–4)² = 16
$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 125 fin raÃz$
	36	2
$estilo mostrar raÃz cuarta de 81 fin raÃz$
		3	2
$estilo mostrar raÃz quinta de menos 243 fin raÃz$
	81		±9
$estilo mostrar raÃz cuadrada de fracciÃ³n 4 entre 9 fin raÃz$
	$estilo mostrar 1 cuarto$	2

Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 64 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cuadrada de texto 1 Â 600 fin texto fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cuadrada de fracciÃ³n 4 entre 9 fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz cuadrada de texto 10 Â 000 fin texto fin raÃz$

e) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 121 fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz cuadrada de menos 4 fin raÃz$

g) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 256 fin raÃz$

h) $estilo mostrar raÃz cuadrada de fracciÃ³n numerador 1 entre denominador 25 fin fracciÃ³n fin raÃz$

i) $estilo mostrar raÃz cuadrada de menos 100 fin raÃz$

j) $estilo mostrar raÃz cuadrada de menos 64 fin raÃz$

k) $estilo mostrar raÃz cuadrada de texto 810 Â 000 fin texto fin raÃz$

l) $estilo mostrar raÃz cuadrada de fracciÃ³n numerador 16 entre denominador 81 fin fracciÃ³n fin raÃz$

Calcula las siguientes raíces:

a) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 27 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cuarta de 16 fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de fracciÃ³n numerador 125 entre denominador 8 fin fracciÃ³n fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de menos 216 fin raÃz$

e) $estilo mostrar raÃz quinta de fracciÃ³n numerador 32 entre denominador 243 fin fracciÃ³n fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz cuarta de menos 81 fin raÃz$

g) $estilo mostrar raÃz cuarta de fracciÃ³n numerador 625 entre denominador 16 fin fracciÃ³n fin raÃz$

h) $estilo mostrar raÃz quinta de menos 243 fin raÃz$

i) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 8 y radical menos 216 fin raÃz$

j ) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 1$

k) $raíz con índice 11 y radical menos 1 fin raíz$

l) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 6 y radical 0$

Completa el siguiente cuadro que resume las posibles soluciones que podemos obtener al resolver raíces:

Índice	Radicando	Soluciones
Par	Positivo	Dos soluciones
	Ejemplo:	$estilo mostrar raÃz cuadrada de 9 igual mÃ¡s-menos 3$
	Negativo
	Ejemplo:
Impar	Negativo
	Ejemplo:
	Negativo
	Ejemplo:

Resuelve las siguientes operaciones con radicales:

a) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 5 al cuadrado fin raÃz por raÃz con Ãndice 11 y radical 5 al cubo fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz quinta de 11 al cubo fin raÃz dos puntos raÃz con Ãndice 10 y radical 11 al cuadrado fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 3 elevado a 5 fin raÃz por raÃz cuarta de 3 al cubo fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 7 y radical 10 elevado a 4 fin raÃz dos puntos raÃz cuadrada de 10 al cubo fin raÃz$

e) $estilo mostrar raÃz quinta de 2 dos puntos raÃz cuarta de 2 al cubo fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 13 fin raÃz por raÃz con Ãndice 7 y radical 13 elevado a 4 fin raÃz$

g) $estilo mostrar 7 por raÃz cÃºbica de 7 al cuadrado fin raÃz$

h) $estilo mostrar 3 al cuadrado dos puntos raÃz cuadrada de 3 elevado a 5 fin raÃz$

i) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 2 al cubo fin raÃz por raÃz quinta de 2 al cubo fin raÃz por raÃz cÃºbica de 2 al cuadrado fin raÃz$

j) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 5 elevado a 7 fin raÃz por raÃz cuadrada de 5 al cubo fin raÃz dos puntos raÃz con Ãndice 6 y radical 5$

Simplifica las siguientes expresiones:

a) $abrir paréntesis raíz cúbica de 5 al cuadrado fin raíz cerrar paréntesis elevado a 4$

b) $abrir paréntesis raíz quinta de 7 al cubo fin raíz cerrar paréntesis elevado a 8$

c) $abrir paréntesis raíz cuarta de 2 al cubo fin raíz cerrar paréntesis al cuadrado$

d) $abrir paréntesis raíz cuadrada de 11 elevado a 7 fin raíz cerrar paréntesis al cuadrado$

e) $abrir paréntesis raíz cuadrada de 4 al cubo fin raíz cerrar paréntesis elevado a 5$

f) $abrir paréntesis raíz cúbica de 5 cerrar paréntesis elevado a 10$

g) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de raÃz quinta de 7 al cuadrado fin raÃz fin raÃz$

h) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 10 y radical raÃz cÃºbica de 2 elevado a 7 fin raÃz fin raÃz$

i) $estilo mostrar raÃz cuarta de raÃz quinta de 10 al cuadrado fin raÃz fin raÃz$

j) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 7 y radical raÃz cuadrada de 3 elevado a 4 fin raÃz fin raÃz$

k) $estilo mostrar raÃz con Ãndice 11 y radical raÃz cÃºbica de 5 fin raÃz$

l) $raíz cúbica de abrir paréntesis raíz cuarta de 2 cerrar paréntesis elevado a 6 fin raíz$

Resuelve las siguientes operaciones:

a) $raíz quinta de 3 al cuadrado fin raíz dos puntos abrir paréntesis raíz cúbica de 3 por raíz quinta de 3 al cubo fin raíz cerrar paréntesis$

b) $raíz cúbica de 7 elevado a 8 fin raíz dos puntos abrir paréntesis raíz quinta de 7 por 7 al cuadrado cerrar paréntesis$

c) $raíz quinta de abrir paréntesis fracción 2 entre 7 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz por raíz cuarta de abrir paréntesis fracción 2 entre 7 cerrar paréntesis al cubo fin raíz$

d) $raíz cúbica de fracción 5 entre 4 fin raíz por raíz quinta de abrir paréntesis fracción 5 entre 4 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz$

e) $raíz cúbica de 3 al cuadrado fin raíz por abrir paréntesis raíz cúbica de 3 al cuadrado fin raíz cerrar paréntesis al cuadrado$

f) $raíz cuarta de 11 elevado a 7 fin raíz dos puntos abrir paréntesis raíz cúbica de 11 al cuadrado fin raíz cerrar paréntesis elevado a 5$

g) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 2 dos puntos raÃz con Ãndice blanco y radical raÃz quinta de 2 al cubo fin raÃz fin raÃz$

h) $estilo mostrar raÃz cuarta de 15 elevado a 7 fin raÃz dos puntos raÃz con Ãndice blanco y radical raÃz cÃºbica de 15 fin raÃz fin raÃz$

i) $abrir paréntesis raíz quinta de 6 por raíz cuadrada de 6 cerrar paréntesis elevado a 4$

Simplifica los siguientes radicales extrayendo todos los factores posibles:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 3 elevado a 5 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 10 al cubo fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 5 elevado a 4 fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 3 elevado a 5 fin raÃz$

e) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 12 fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 500 fin raÃz$

g) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 180 fin raÃz$

h) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 8$

i) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 154 fin raÃz$

j) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 80 fin raÃz$

k) $estilo mostrar 5 raÃz cuadrada de 27 fin raÃz$

l) $estilo mostrar 10 raÃz cuadrada de 75 fin raÃz$

Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 20 fin raÃz mÃ¡s raÃz cuadrada de 45 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 18 fin raÃz menos raÃz cuadrada de 8$

c) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 300 fin raÃz mÃ¡s raÃz cuadrada de 75 fin raÃz$

d) $estilo mostrar 5 raÃz cuadrada de 8 mÃ¡s 3 raÃz cuadrada de 50 fin raÃz$

e) $estilo mostrar 5 raÃz cuadrada de 54 fin raÃz menos 10 raÃz cuadrada de 600 fin raÃz$

f) $estilo mostrar 3 raÃz cuadrada de 7 menos 5 raÃz cuadrada de 343 fin raÃz$

Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 63 fin raÃz mÃ¡s 5 raÃz cuadrada de 28 fin raÃz$

b) $estilo mostrar 2 raÃz cuadrada de 28 fin raÃz menos raÃz cuadrada de 175 fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 16 fin raÃz mÃ¡s raÃz cÃºbica de 54 fin raÃz$

d) $estilo mostrar 7 raÃz cÃºbica de 243 fin raÃz mÃ¡s 2 raÃz cÃºbica de 72 fin raÃz$

e) $estilo mostrar 10 raÃz cuadrada de 3 menos 2 raÃz cuadrada de 405 fin raÃz mÃ¡s 7 raÃz cuadrada de 108 fin raÃz$

f) $estilo mostrar 11 raÃz cuadrada de 50 fin raÃz menos 2 raÃz cuadrada de 18 fin raÃz mÃ¡s 6 raÃz cuadrada de 72 fin raÃz$

g) $estilo mostrar 5 raÃz cuadrada de 12 fin raÃz menos 2 raÃz cuadrada de 75 fin raÃz mÃ¡s raÃz cuadrada de 200 fin raÃz$

h) $raíz cuadrada de 99 más 2 raíz cuadrada de 125 menos 5 raíz cuadrada de 44$

i) $estilo mostrar 7 raÃz cuadrada de 24 fin raÃz menos 8 raÃz cuadrada de 54 fin raÃz mÃ¡s raÃz cuadrada de 216 fin raÃz$

Simplifica las siguientes operaciones:

a) $abrir paréntesis 2 raíz cuadrada de 5 al cuadrado fin raíz cerrar paréntesis al cubo$

b) $abrir paréntesis 10 raíz cuadrada de 3 elevado a 5 fin raíz cerrar paréntesis al cuadrado$

c) $3 por abrir paréntesis 2 más raíz cuadrada de 5 cerrar paréntesis$

d) $10 abrir paréntesis raíz cuadrada de 3 más 1 cerrar paréntesis$

e) $raíz cuadrada de 2 abrir paréntesis 5 menos raíz cuadrada de 2 cerrar paréntesis$

f) $raíz cuadrada de 3 abrir paréntesis raíz cuadrada de 5 menos 2 cerrar paréntesis$

g) $abrir paréntesis 2 más raíz cuadrada de 3 cerrar paréntesis por abrir paréntesis 5 más raíz cuadrada de 5 cerrar paréntesis$

h) $abrir paréntesis 3 más raíz cuadrada de 2 cerrar paréntesis por abrir paréntesis 3 menos raíz cuadrada de 2 cerrar paréntesis$

i) $abrir paréntesis 5 más raíz cuadrada de 7 cerrar paréntesis al cuadrado$

6Notación científica y unidades de medida

6.1. Notación científica

La notación científica es una de las principales aplicaciones de las potencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes o muy pequeñas.

De forma general, un número está expresado en notación científica si está escrito de la siguiente forma:

a, bc... ⋅ 10n

Donde a es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales necesarios (bc...) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente entero (es decir, n puede ser positivo o negativo).

EJEMPLO

La masa de un protón, que como recordarás es una de las partículas que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la expresamos utilizando la notación normal, tenemos que:
mprotón = 0,00000000000000000000000000167 kg
Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos expresar esta cantidad utilizando la notación científica:
mprotón = 1,67 ⋅ 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 ⋅ 10–27 kg

Potencias de base 10

La notación científica se basa en las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero. Observa los valores que obtenemos cuando elevamos a 10 números positivos y negativos:

106 = 1000000
105 = 100000
104 = 10000
103 = 1000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10–1 = 0,1
10–2 = 0,01
10–3 = 0,001
10–4 = 0,0001
10–5 = 0,00001
10–6 = 0,000001

La distancia de la Tierra al Sol es de 150000000 km. Utilizando la notación científica podemos expresarla como 1,5 ⋅ 108 km.

6.2. Unidades de medida

Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se establece como patrón. De esta forma, para medir dicha magnitud comparamos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos cuántas veces la contiene.

Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado. Además, para cada unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos que se obtienen multiplicando la unidad por una potencia de base diez.

En la siguiente tabla tienes los prefijos con los que se nombran los múltiplos más habituales, el símbolo con el que se representan y su valor:

Múltiplos
Prefijo	Símbolo	Equivalencia
Tera	T	10¹²
Giga	G	10⁹
Mega	M	10⁶
Kilo	k	10³
Hecto	h	10²
Deca	da	10¹

Notación científica en tu calculadora

En la mayor parte de las calculadoras científicas los números escritos en notación científica se emplean usando la tecla EXP.
Por ejemplo, para introducir el número 3,4 ⋅ 10⁸usaríamos la siguiente combinación de teclas:

⋅

EXP

Submúltiplos
Prefijo	Símbolo	Equivalencia
Deci	d	10^–1
Centi	c	10^–2
Mili	m	10^–3
Micro	µ	10^–6
Nano	n	10^–9
Pico	p	10^–12

Así, por ejemplo, 1 km = 103 m, 1 µs = 10–6 s, 1 Gb = 109 b, etc.

Magnitud	Unidad	Símbolo
Masa	kilogramos	kg
Tiempo	segundos	s
Longitud	metros	m
Superficie	metros cuadrados	m²
Volumen	metros cúbicos	m³
Intensidad de corriente	amperios	A
Temperatura	kelvin	K
Fuerza	Newton	N

Magnitud	Unidad
Tiempo	hora, minuto
Temperatura	grado centígrado (°C)
Longitud	ångstrom (Å) = 10^–10 m
Longitud	año luz = 9,44 · 10¹² km
Masa	quintal (q) = 100 kg
Masa	tonelada (t) = 1000 kg
Superficie	área (a) = 1 dam²
Superficie	hectárea (ha) = 1 hm²

Actividades y tareas

Expresa las siguientes cantidades en notación científica:

a) 0,0000000005

b) 0,002

c) 45000

d) 57,001

Realiza los siguientes cambios de unidades:

a) 50 m = cm

b) 0,06 km = dam

c) 10 pm = mm

d) 50 kg = Tg

En el sistema internacional (SI) el espacio se mide en metros (m), el tiempo, en segundos (s), y la masa, en kilogramos (kg). Realiza los cambios de unidades necesarios y utiliza la notación científica para expresar las siguientes cantidades de acuerdo con el SI.

a) 5 mm

b) 20000 km

c) 200 cm

d) 2,4 µs

e) 0,0015 Mg

La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 ⋅ 1030 kg. Si no utilizásemos este tipo de notación deberíamos escribir 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. ¿Cómo tendríamos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásemos la notación científica?

a) El diámetro de la Luna: 3,47 ⋅ 106 m

b) La masa de un protón: 1,67 ⋅ 10–27 kg

c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea: 3 ⋅ 1011 estrellas

d) La población total de la Tierra: 6,8 ⋅ 109 personas

Resuelve las operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica:

(3,5 ⋅ 104) ⋅ (6 ⋅ 107) = (3,5 ⋅ 6) ⋅ (104 ⋅ 107) = 21 ⋅ 1011 = 2,1 ⋅ 1012
(8,4 ⋅ 106) : (4 ⋅ 103) = (8,4 : 4) ⋅ (106 : 103) = 2,1 ⋅ 103

a) (5,1 ⋅ 106) ⋅ (2,5 ⋅ 102)

b) (1,235 ⋅ 1011) : (5 ⋅ 102)

Calculadora científica

La mayoría de calculadoras científicas ofrecen tres modos de funcionamiento referidos a la forma de expresar tus resultados. Para cambiar de uno a otro usa la tecla MODE. Estos modos son:

NOMR o modo normal, que expresa el resultado en forma de número decimal dando tantos decimales como quepan en la pantalla. Ejemplo: 500 ÷ 3 dará como resultado 166.666667
FIX que te permite elegir cuántos decimales quieres que te muestre la calculadora. Ejemplo: si elegimos FIX – 2 la operación 500 ÷ 3 dará como resultado 166.67. Si elegimos FIX – 4 será 166.6667
SCI o modo científico, que expresa el resultado utilizando la notación científica. Ejemplo: la operación 500 ÷ 3 dará como resultado 1.666667 × 102. La potencia de 10 también puede aparecer como 1.666667 E2

Errores7

Aunque utilicemos los instrumentos de medida más sofisticados y trabajemos con el mayor de los cuidados, es imposible realizar medidas con una precisión infinita.

En la vida cotidiana, los errores que van asociados a cualquier medida suelen ser poco importantes, pero en el mundo científico y técnico es fundamental tratar de determinar estos errores y tenerlos en cuenta en nuestros resultados.

En este apartado vamos a aprender cómo determinar el error que estamos cometiendo cuando medimos algo en un laboratorio.

7.1. Error absoluto

Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero. Habitualmente este valor de referencia es la media de las mediciones que hayamos hecho. Se suele tomar el valor absoluto de esta resta porque nos interesa la diferencia entre nuestra medida y el valor exacto, independientemente de cuál es mayor o menor.

Por ejemplo, si al pesar en diferentes ocasiones una cantidad de sustancia tras un experimento químico obtenemos distintos valores (como los del ejemplo del margen derecho), podemos considerar que la media de esos valores es el valor exacto de nuestra medición. Lo denominamos VE.

La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de cada medida. Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tenemos el promedio del error absoluto. Se denomina EA.

Habitualmente, el resultado de un experimento se escribe como:

V_E ± E_A

De esta forma indicamos que el valor exacto de dicho experimento se encuentra comprendido entre VE − EA y VE + EA.

7.2. Error relativo y porcentaje de error

Para saber si un error es grande o pequeño, debemos compararlo con el valor obtenido en el experimento en el que se ha dado. Un error de 3 cm no tiene la misma importancia si estamos tratando de medir el tamaño de una célula que si queremos determinar la distancia entre la Tierra y la Luna.

Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo. Se denomina ER y se calcula dividiendo el error absoluto (EA) entre el valor considerado exacto de nuestra medición (VE):

ER = $fracción E subíndice A entre V subíndice E$

EJEMPLO

Cálculo de errores

Al medir varias veces la masa de sulfato de cobre resultante de un experimento, nos encontramos con los siguientes resultados:

3,51 g; 3,48 g; 3,49 g; 3,52 g; 3,48 g

Para calcular un valor de referencia, que llamaremos valor exacto (V_E) calculamos la media de estos datos:

$estilo mostrar tabla atributos alineaciÃ³n columna left fin atributos columna celda V subÃndice E igual fracciÃ³n numerador texto 3 , 51 fin texto mÃ¡s texto 3 , 48 fin texto mÃ¡s texto 3 , 49 fin texto mÃ¡s texto 3 , 52 fin texto mÃ¡s texto 3 , 48 fin texto entre denominador 5 fin fracciÃ³n igual fin celda columna celda igual 3 , 49 texto 6 Â g fin texto fin celda fin tabla$

Ahora calculamos la diferencia entre esta media y cada uno de los datos obtenidos:

Masa (g)	Dato – V_E
3,51	0,014
3,48	0,016
3,49	0,006
3,52	0,024
3,48	0,016

La media de estos errores es nuestro error absoluto (E_A):

E_A = 0,0152

Para expresar nuestro resultado debemos emplear las mismas cifras decimales que obteníamos en nuestras medidas (dos en este caso), por lo que debemos redondear si es necesario. La masa del sulfato de cobre que se obtiene en este experimento sería:

3,50 ± 0,02 g

Para decidir si el error que hemos cometido es grande o pequeño, calculamos el error relativo y el porcentaje de error:

ER = $estilo tamaño 14px fracción numerador texto 0 , 02 fin texto entre denominador texto 3 , 50 fin texto fin fracción fin estilo$ = 0,0057

% error = 0,0057 ⋅ 100 = 0,6 %

Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de error:

% error = ER ⋅ 100

En el margen puedes ver un ejemplo del proceso completo del cálculo de errores.

Actividades y tareas

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Si ponemos el cuidado suficiente, podemos tomar medidas completamente exactas, sin ningún tipo de error.

b) El error relativo nos indica la diferencia entre una medida y el supuesto valor exacto.

c) Al dar el resultado de un experimento con su error absoluto, realmente indicamos el margen dentro del cual debe encontrarse el resultado que buscábamos.

d) Para comparar la precisión de dos medidas distintas debemos utilizar el error absoluto.

e) El error relativo multiplicado por 100 nos da el porcentaje de error.

f) Un error absoluto muy alto significa que el experimento se ha hecho mal.

Como resultado de un experimento, una revista científica publica que la masa obtenida en una reacción química de una determinada sustancia es 2 ± 0,1 g.

a) Calcula el error relativo y el porcentaje de error de esta medida.

b) Indica cuáles de las siguientes opciones son válidas como posible resultado exacto del experimento:

2,05 g 1,93 g 1,98 g 1,87 g 2,11 g 2,07 g 1,89 g

Un alumno mide la longitud de un hilo de 5 m y halla el valor de 6 m. Otro alumno mide la longitud de un paseo de 600 m y halla 601 m. ¿Qué medida fue más exacta?

¿Cuál de estas medidas es más precisa?

a) Radio de la Tierra: 6 500 km EA = 100 km

b) Anchura de un folio: 210 mm EA = 1 mm

Conociendo el error absoluto, ¿podemos saber si una medida es más precisa que otra?

Realizamos un experimento en el laboratorio, que consiste en colgar un mismo peso de un muelle para determinar cuánto se estira. Colgamos el peso 5 veces y obtenemos los siguientes resultados:

Medida 1	13,45 cm
Medida 2	13,50 cm
Medida 3	13,57 cm
Medida 4	13,55 cm
Medida 5	13,48 cm

Calcula:

a) El error absoluto de cada medida.

b) El promedio del error absoluto.

c) El error relativo.

d) El porcentaje de error.

Al medir la distancia entre las orillas de un río se ha obtenido el resultado de 220 m con un error de ±40 cm. Al medir la longitud de una mesa se obtiene como resultado 2,5 m con un error de ±10 cm. ¿Cuál de las dos medidas es más precisa?

En un trabajo de laboratorio hemos obtenido los siguientes resultados al medir repetidamente el tiempo que tardaba un metal en pasar de 55 °C a 50 °C:

Medida 1	145 s
Medida 2	160 s
Medida 3	151 s
Medida 4	154 s
Medida 5	148 s

a) Calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error.

b) Compara la precisión obtenida en este experimento con la del experimento descrito en la actividad número 6.

Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Todos los números naturales son números enteros.

b) Cualquier número que sea racional es también un númeroentero.

c) Los números reales están formados por los racionales y los irracionales.

d) Las fracciones negativas son números enteros.

e) Todos los números decimales son números racionales.

f) Un número natural también es entero, racional y real.

g) Un número entero es siempre un número natural.

h) Todos los números enteros positivos son números naturales.

i) Los números racionales incluyen a los enteros negativos.

j) Los números irracionales forman parte de los números racionales.

Efectúa los siguientes cálculos:

a) 7 · (–3) + 2 + 4 : (–2) + (–9)

b) 5 + (–5) · (–3) – [4 · (–6) + (8 + 9 : 32)]

c) [(4 · 7) : (–2)] – 10

d) 15 : (–7 + 4) +3 – 16 : 22

e) (–72 : 12) – 3 + (–5) –1

f) 6 + 4 · (–2) + (16 : 22) + (–3)

g) [(5 · 2) : (8 : 4) ] · (–7) – (+2)

h) 20 : (–5 + 3) · (–2)2 + (–1)

Realiza las siguientes operaciones:

a) $estilo mostrar fracciÃ³n 4 entre 7 menos fracciÃ³n 6 entre 5 mÃ¡s fracciÃ³n 2 entre 3$

b) $abrir paréntesis fracción numerador 3 entre denominador menos 4 fin fracción dos puntos 2 cerrar paréntesis por fracción numerador menos 2 entre denominador 5 fin fracción$

c) $estilo mostrar 1 fracciÃ³n 2 entre 4 mÃ¡s 2 1 medio mÃ¡s fracciÃ³n 5 entre 9$

d) $abrir paréntesis fracción numerador menos 5 entre denominador 10 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado$

e) $estilo mostrar fracciÃ³n 6 entre 8 por fracciÃ³n numerador 15 entre denominador 3 fin fracciÃ³n mÃ¡s fracciÃ³n numerador 1 entre denominador menos 2 fin fracciÃ³n$

f) $abrir paréntesis fracción numerador 7 entre denominador menos 3 fin fracción cerrar paréntesis elevado a menos 3 fin elevado$

Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

a) 28 · 2

b) 116 · 115

c) $abrir paréntesis fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis elevado a 7 por abrir paréntesis fracción 3 entre 5 cerrar paréntesis elevado a menos 2 fin elevado$

d) $abrir paréntesis menos fracción 4 entre 3 cerrar paréntesis elevado a menos 10 fin elevado dos puntos abrir paréntesis menos fracción 4 entre 3 cerrar paréntesis elevado a 7$

e) (–13)4 ⋅ (–13)4

f) $abrir paréntesis fracción 11 entre 2 cerrar paréntesis elevado a 5 dos puntos abrir paréntesis fracción 11 entre 2 cerrar paréntesis elevado a menos 5 fin elevado$

g) $abrir corchetes abrir paréntesis fracción 5 entre 12 cerrar paréntesis al cubo por abrir paréntesis fracción 5 entre 12 cerrar paréntesis elevado a 8 cerrar corchetes al cuadrado$

h) [(–4)–1 : (–4)–11]7

Resuelve las siguientes operaciones con raíces:

a) $estilo mostrar raÃz quinta de 3 al cuadrado fin raÃz por raÃz con Ãndice 10 y radical 3$

b) $estilo mostrar 14 al cuadrado dos puntos raÃz cuadrada de 14 fin raÃz$

c) $raíz quinta de fracción 3 entre 2 fin raíz por raíz cúbica de abrir paréntesis fracción 3 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz$

d) $abrir paréntesis raíz con índice 11 y radical 5 dos puntos raíz con índice 6 y radical 5 elevado a 5 fin raíz cerrar paréntesis al cuadrado$

e) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de raÃz cuadrada de 5 al cuadrado fin raÃz por raÃz cuarta de 5 al cubo fin raÃz fin raÃz$

f) $raíz cúbica de abrir paréntesis 1 medio cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz dos puntos raíz cuadrada de 1 medio fin raíz$

g) $estilo mostrar 2 raÃz cuadrada de 63 fin raÃz mÃ¡s 10 raÃz cuadrada de 28 fin raÃz$

h) $estilo mostrar 7 raÃz cÃºbica de 80 fin raÃz menos 2 raÃz cÃºbica de 270 fin raÃz$

i) $estilo mostrar 5 raÃz cuadrada de 8 mÃ¡s 3 raÃz cÃºbica de 98 fin raÃz menos 5 raÃz cuadrada de 12 fin raÃz$

Expresa los siguientes números utilizando la notación científica:

a) La velocidad de la luz: 300 000 000 m/s.

b) La distancia media entre la Tierra y el Sol: 150 000 000 000 m.

c) Tamaño de una célula: 0,00002 m.

d) Los espectadores de un estadio de fútbol: 80 000 espectadores.

e) La edad aproximada del Sol: 4 500 000 000 años.

Escribe las siguientes medidas utilizando las unidades del sistema internacional y la notación científica:

a) 0,05 cm

b) 14 000 ms

c) 500 Mg

d) 12 ns

e) 150 000 dam

f) 0,008 mg

g) 10 h

h) 0,000075 µg

Realizamos un experimento en el que queremos determinar la temperatura final de una sustancia después de aplicarle un campo magnético. Repetimos el experimento 6 veces y obtenemos los siguientes resultados:

a) 34,7 °C 33,1 °C 33,7 °C 35,1 °C 34,5 °C 33,0 °C

b) Calcula el error absoluto.

c) Calcula el error relativo y el porcentaje de error.

Busca información sobre cuándo y dónde empezaron a utilizarse los distintos conjuntos de números. Trabaja en grupo con tus compañeros y realiza una presentación que debe contar al menos con los siguientes apartados:

a) Números naturales.

b) Números racionales.

c) Números irracionales.

d) Números enteros.

a) Completa la siguiente tabla calculando el valor de la expresión (–1)n para distintos valores de n:

Valor de n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valor de (–1)n

b) Completa la siguiente frase:

«El valor de (–1)n es siempre que n es y es siempre que n es ».

Algunos números irracionales tienen unas propiedades muy interesantes, lo que les convierte en números «famosos». Busca información sobre los siguientes números irracionales y completa la siguiente tabla:

Número	Nombre	Símbolo	Está relacionado con...
3,1415926...
2,7182818...
1,6180339...

Contraseñas seguras

La seguridad de una contraseña depende de muchos factores, pero uno de los más importantes es el número y el tipo de caracteres que utilices. La forma de ataque más básica es la denominada ataque de fuerza bruta. Consiste en un programa que prueba de forma aleatoria todas las combinaciones posibles según el número de caracteres.

Esta operación llevará más o menos tiempo en función del tipo de contraseña (si utiliza solo letras, mayúsculas y minúsculas, números, símbolos...) y de la capacidad de cálculo del ordenador. Por ejemplo, una contraseña que estuviese formada solo por una letra ofrece 26 posibilidades. Si utilizamos dos letras las combinaciones se multiplican por 26 y tenemos 26 ⋅ 26 = 262 = 676 posibilidades. Con tres letras, las opciones serían 263 = 17 576. A medida que la contraseña emplea más caracteres, el número de posibilidades aumenta, obligando al programa de ataque a tener que probar más y más combinaciones aleatorias.

Por otra parte, si en lugar de utilizar solo letras minúsculas empleas también letras mayúsculas, las opciones para cada carácter se duplican, pasando a ser 52. Si además incluimos números, pasamos a generar 62 opciones por cada carácter. En algunos sitios incluso se permite el uso de símbolos como * o $, lo que aumentaría aún más las combinaciones posibles.

Actividades

Actividad 1: Completa la siguiente tabla indicando cuántas combinaciones posibles existen según el número y el tipo de caracteres que empleemos:

Número de caracteres	Solo letras minúsculas	Mayúsculas y minúsculas	Mayúsculas + minúsculas + números
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Actividad 2: Vamos a considerar que un ordenador personal puede realizar unos 10 000 000 intentos por segundo.

a) ¿Cuánto tardaría en «hackear» una contraseña de 8 caracteres en los que solo hemos usado letras minúsculas?

b) ¿Y si la contraseña incluye también mayúsculas y números?

Actividad 3: Busca información sobre los ataques de diccionario. ¿Qué hay que evitar si queremos una contraseña segura también frente a este tipo de ataques?

Operaciones con radicales con la calculadora WIRIS

Objetivo:

La calculadora WIRIS nos permite realizar numerosas operaciones con radicales. Además, podemos obtener los resultados en forma de radical o de número decimal.

Procedimiento:

1. Simplificación de radicales.

Raíz cuadrada

Raíz n-ésima

WIRIS nos permite introducir raíces de cualquier índice. Para ello utilizamos los botones indicados en la figura. Observa que al pulsar el igual WIRIS simplifica al máximo el radical extrayendo todos los factores posibles.

2. Operaciones con radicales.

De la misma forma podemos utilizar WIRIS para resolver operaciones con radicales.

3. Expresión decimal del valor aproximado de un radical.

Si en algún momento nos interesa el resultado de una operación con radicales expresado en forma de número decimal, debemos escribir el radicando seguido de un punto. Recuerda que la expresión decimal de un número irracional es siempre una aproximación ya que no podemos escribir sus infinitas cifras decimales.

De hecho, WIRIS nos permite elegir con qué precisión queremos este resultado. Así, utilizando el comando precisión podemos elegir cuántas cifras va a mostrar el resultado de nuestra operación.

Actividades y tareas

Simplifica las siguientes expresiones utilizando la calculadora WIRIS:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 45 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 56 fin raÃz$

c) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 7 elevado a 5 fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz quinta de 10 elevado a 7 fin raÃz$

e) $estilo mostrar raÃz cuadrada de texto 15 Â 625 fin texto fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz con Ãndice texto 3 fin texto y radical texto 2 Â 187 fin texto fin raÃz$

Resuelve las siguientes operaciones utilizando la calculadora WIRIS:

a) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 5 por raÃz cuadrada de 125 fin raÃz$

b) $estilo mostrar raÃz cÃºbica de 7 dos puntos raÃz quinta de 7 al cuadrado fin raÃz$

d) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 12 fin raÃz mÃ¡s 5 por raÃz cuadrada de 27 fin raÃz$

e) $estilo mostrar 10 por raÃz cuadrada de 125 fin raÃz menos 3 por raÃz cuadrada de 20 fin raÃz$

f) $estilo mostrar raÃz cuadrada de 2 por parÃ©ntesis izquierdo raÃz cuadrada de 50 fin raÃz mÃ¡s 4 por raÃz cuadrada de 72 fin raÃz parÃ©ntesis derecho$

Calcula el valor aproximado de los resultados de la actividad anterior utilizando la calculadora WIRIS para obtener su expresión como número decimal.

Indica cuál de los siguientes números no es un número racional:

Resuelve la siguiente operación:

8 + (2 – 7) ⋅ 3 – 1 ⋅ 4

Resuelve la siguiente operación:

$estilo mostrar 2 menos 1 quinto por parÃ©ntesis izquierdo fracciÃ³n 2 entre 3 mÃ¡s fracciÃ³n 1 entre 6 parÃ©ntesis derecho$

Resuelve la siguiente operación con números decimales: 0,51 + 4,51 ⋅ 1,7

Calcula la fracción generatriz de 3,16666...

Si el resultado de un experimento ha sido 23,4 ± 0,5 s.

¿Qué error relativo hemos cometido?

Resuelve:

[(–2)5 ⋅ (–2)–3 ]10

Expresa 56 km en unidades del sistema internacional y en notación científica:

Resuelve la siguiente operación:

$estilo mostrar raÃz cÃºbica de 2 elevado a 4 fin raÃz dos puntos raÃz cuadrada de 2$

Resuelve la siguiente operación con radicales:

$estilo mostrar raÃz cuadrada de 500 fin raÃz menos 2 raÃz cuadrada de 80 fin raÃz mÃ¡s 6 raÃz cuadrada de 20 fin raÃz$

Resumen

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. También pueden expresarse como un número decimal que puede ser exacto (como $estilo mostrar fracciÃ³n 7 entre 2 igual 3 , 5$ ), periódico (como $estilo mostrar fracciÃ³n numerador 17 entre denominador 3 fin fracciÃ³n igual 5 , 6666...$ ) o periódico mixto (como $estilo mostrar fracciÃ³n numerador 31 entre denominador 30 fin fracciÃ³n igual 1 , 03333...$ ). Los números irracionales, por el contrario, no pueden expresarse como la división de dos enteros y su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Juntos forman el conjunto de los números reales.

Las potencias son una herramienta muy útil en numerosas situaciones. Entre otras utilidades, las potencias nos permiten manejar cantidades muy grandes o muy pequeñas de forma cómoda gracias a la notación científica. Para expresar una cantidad en notación científica tenemos que utilizar un número decimal con una única cifra no decimal (que no sea cero) multiplicado por una potencia de diez. Además debemos utilizar el sistema internacional de unidades.

Un radical es la raíz de índice n de un número real multiplicada por un número que denominamos coeficiente. Para operar con ellos conviene simplificarlos al máximo. Para ello extraemos todos los factores que sea posible de la raíz. Para multiplicarlos y dividirlos utilizamos las propiedades de las potencias. Para restarlos y sumarlos es necesario que sean radicales semejantes, es decir, que aunque cambie el coeficiente la raíz sea la misma.

Cuando medimos algo, incluso en un laboratorio, siempre cometemos algún error. Para realizar una medición de la forma más exacta posible tomamos varias veces la misma medida y hacemos la media de los valores obtenidos. Ese es nuestro valor exacto. El error absoluto (promedio de la diferencia entre cada medida y el valor exacto) y el error relativo (cociente entre el error absoluto y el valor exacto) nos indican la calidad de nuestro experimento.

Mis progresos

Facilitar el acceso al agua potable a 17500 habitantes

Situación de partida

La escasez de agua en el mundo

La escasez de agua afecta a todos los continentes. Cerca de 1 200 millones de personas, casi una quinta parte de la población mundial, vive en áreas de escasez física de agua, mientras que 500 millones se aproximan a esta situación. Otros 1 600 millones, alrededor de un cuarto de la población mundial, se enfrentan a situaciones de escasez económica de agua. Estos países carecen de la infraestructura necesaria para transportar el agua desde ríos y acuíferos.

La escasez de agua constituye uno de los principales desafíos del siglo xxi a los que se están enfrentando ya numerosas sociedades de todo el mundo.

A lo largo del último siglo, el uso y el consumo de agua creció a un ritmo dos veces superior al de la tasa de crecimiento de la población y, aunque no se puede hablar de escasez hídrica a nivel global, va en aumento el número de regiones con niveles crónicos de carencia de agua.

La escasez de agua es un fenómeno no solo natural sino también causado por la acción del ser humano. Hay suficiente agua potable en el planeta para abastecer a los 7 000 millones de personas que lo habitamos, pero está distribuida de forma irregular, se desperdicia, está contaminada y se gestiona de forma insostenible.

Departamento de asuntos sociales y económicos de Naciones Unidas.<http://www.un.org/spanish/waterforlifedecade/scarcity.shtml>

Antes del proyecto

Lee atentamente el texto y contesta las siguientes preguntas. Si es necesario, busca información complementaria en internet.

1. ¿Cuántas personas se ven afectadas actualmente por la escasez de agua?

2. ¿Qué diferencia hay entre escasez física y escasez económica de agua?

3. Comenta con tus compañeros: ¿depende la escasez de agua únicamente del crecimiento de la población?

4. Observa el mapa: ¿qué continente tiene mayores problemas de acceso al agua potable? ¿Cuál crees que es el principal motivo?

Lo que tenemos que hacer

Vuestro proyecto consiste en facilitar el acceso al agua potable a 17500 habitantes reunidos en ocho aldeas de la región de Kara, en el país africano de Togo. Para ello vais a planificar la construcción de varios pozos, dotados de bombas de agua, que mediante energía solar suministrarán agua potable procedente de los acuíferos de la zona.

Pasos a seguir

Paso 1. Búsqueda de información

Reunid la siguiente información sobre Togo y sobre la región de Kara:

1. Mapa de Togo (con la región de Kara indicada).

2. Idioma(s) y clima de Togo.

3. PIB por habitante y esperanza de vida en Togo.

4. Población y densidad de población de Togo.

5. Población y densidad de población de la región de Kara.

Paso 2. Investigación: bombas de agua

¿Cuántas bombas de agua necesitaremos para abastecer a los 17500 habitantes? ¿Cuánto nos costarán?

Para poder tomar estas decisiones debéis seguir los siguientes pasos:

1. Buscad cuántos litros de agua son necesarios por persona y día para consumo e higiene según la OMS.

2. Consultad en internet cuánto cuestan y qué caudal proporcionan (litros por hora) varios modelos de bombas de agua.

Con estos datos, elegid la opción más adecuada para vuestro proyecto: indicando el modelo, el número de bombas que hay que adquirir y el gasto total.

Paso 3. Beneficios para la comunidad

Redactad un pequeño texto explicando los beneficios de vuestro proyecto para la comunidad local. Para su redacción os ayudará buscar respuestas a las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuáles son las enfermedades más habituales relacionadas con la escasez de agua?

2. ¿Quién o quiénes son los encargados de ir a por el agua en una aldea de este tipo?

3. ¿Qué relación hay entre la escasez de agua y la falta de asistencia a la escuela?

Organizamos la información: presentación y conclusiones

Ordenad toda la información recopilada en los pasos uno, dos y tres e incorporadla como una nueva entrada en el blog de vuestra organización. No olvidéis incluir mapas e ilustraciones que ayuden a entender mejor la información.

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A continuación te mostramos el tiempo empleado y el número de aciertos.

Tiempo empleado

Calificación

FAQ

¿No has solucionado tu duda?

Describe con el mayor detalle posible tu duda. Indícanos el libro, la clase, dispositivo de acceso, código de licencia, usuario afectado y navegador o si te ocurre en la app:

1. Números

Antes de comenzar

1Los números reales

2Operaciones con números enteros y racionales

2.1. Operaciones con números enteros

2.2. Operaciones con números racionales

Actividades y tareas

Investiga

3Números decimales

3.1. Clasificación de los números decimales

3.1.1. Números decimales exactos

3.1.2. Números decimales periódicos puros

3.1.3. Números decimales periódicos mixtos

3.1.4. Números irracionales

3.2. Operaciones con números decimales

3.2.1. Suma y resta de números decimales

3.2.2. Multiplicación de números decimales

3.2.3. División de números decimales

3.3. Fracción generatriz

3.3.1. Fracción generatriz de un decimal exacto

3.3.2. Fracción generatriz de un decimal periódico puro

3.3.3. Fracción generatriz de un decimal periódico mixto

3.4. Redondeo

Actividades y tareas

Aplicación a la vida cotidiana

4Potencias de exponente entero

Actividades y tareas

5Radicales

5.1. Producto y división de radicales

5.2. Extracción de factores de un radical

5.3. Suma y resta de radicales

Actividades y tareas

6Notación científica y unidades de medida

6.1. Notación científica

6.2. Unidades de medida

Actividades y tareas

Errores7

7.1. Error absoluto

7.2. Error relativo y porcentaje de error

Actividades y tareas

TRABAJAMOS COMPETENCIAS

DESAFÍO PISA

Contraseñas seguras

INFORMÁTICA MATEMÁTICA

Operaciones con radicales con la calculadora WIRIS

﻿Objetivo:

Procedimiento:

Actividades y tareas

EVALUACIÓN

Resumen

Mis progresos

MI PROYECTO

Facilitar el acceso al agua potable a 17500 habitantes

Paso 1. Búsqueda de información

Paso 2. Investigación: bombas de agua

Paso 3. Beneficios para la comunidad

Objetivo: