El DNI, la fachada de Notre Dame en París, el Partenón en Atenas y la Gioconda de Leonardo da Vinci tienen algo en común. Están relacionados con un número real: el número de oro o divina proporción, Φ.

En todos estos ejemplos está presente un rectángulo especial, el rectángulo de oro. En este rectángulo se cumple lo siguiente:

La razón entre la suma de sus lados y el lado mayor coincide con la razón entre el lado mayor y el lado menor.

Esa razón es el número de oro, Φ. Si llamamos 1 al lado más corto y x al más largo, esa condición se traduce como:

COMPRENDE

1. Observa cómo están colocados los rectángulos en las fotografías y la proporción establecida.

a. Multiplica en cruz y resuelve la ecuación resultante. El número de oro es la solución positiva. Escríbelo de forma exacta.

b. ¿Se trata de un número racional o irracional? ¿Por qué?

c. Según esa proporción, el número de oro cumple la condición Φ2 = Φ + 1. Calcula la expresión decimal de Φ2 . Divide entre Φ y halla una condición para Φ−1 , el inverso de Φ, así como su expresión decimal. Fíjate en ambas expresiones decimales y describe lo que observes.

    

relaciona

2. Fíjate en cómo se sitúa el número de oro sobre la recta real.

a. Explica los pasos y relaciona Φ con la representación de un número irracional.

b. Copia esta representación en tu cuaderno y construye a partir de ahí Φ2 y Φ−1.

REFLEXIONA

3. La belleza también está en los números. A veces, aplicar las propiedades de las operaciones y jugar con ellos arroja resultados sorprendentes.

Santiago se ha puesto a enredar calculando potencias de Φ y se ha encontrado con esto:

• Φ¹ =1⋅Φ
• Φ² =1⋅Φ+ 1
• Φ³ =Φ2 ⋅Φ= (Φ+ 1) ⋅Φ=Φ² +Φ=Φ+ 1 +Φ=2⋅Φ+ 1
• Φ⁴ =Φ3 ⋅Φ= (2Φ+ 1) ⋅Φ= 2Φ² +Φ= 2Φ+ 2 +Φ=3⋅Φ+ 2
• Φ⁵ =Φ4 ⋅Φ= … =5⋅Φ+ 3

Observa los números que multiplican al número de oro en cada expresión.

a. Calcula otras potencias de Φ y confecciona una lista con los primeros términos de la sucesión formada por estos números. Intenta escribir la regla de formación de dicha sucesión.

b. Utiliza una hoja de cálculo para generar los 20 primeros términos de esta sucesión y hallar el valor de los cocientes de dos términos consecutivos. Compara los sucesivos valores de estos cocientes con Φ y di qué observas.

c. Escribe los intervalos abiertos definidos por los cocientes de dos términos consecutivos. ¿Son los extremos de estos intervalos racionales o irracionales? ¿Qué relación tienen con el número de oro?

d. Representa los cocientes de la tabla en una gráfica y analiza el resultado. ¿Confirmas las observaciones hechas?