Relaciones entre razones trigonométricas de ciertos ángulos

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¿Te has dado cuenta de que en la palabra coseno está incluida la palabra seno? ¿Y esto? Pues esto es porque el coseno de un ángulo es igual al valor del seno de su ángulo complementario. O dicho de otro modo, el coseno del ángulo complementario a α es igual al seno de α. ¡Por eso se llama co-seno! ¿Y cuáles eran los ángulos complementarios? Eran aquellos que sumaban 90°: α + β = 90°.

Si $alfa espacio más espacio beta espacio igual espacio 90 º espacio espacio flecha derecha espacio espacio c o s espacio beta espacio igual espacio s e n espacio alfa espacio igual espacio s e n espacio paréntesis izquierdo 90 º espacio menos espacio beta paréntesis derecho$

En un triángulo rectángulo los dos ángulos que no son el recto siempre son complementarios entre sí. Por eso entre las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo se cumple:

c o s espacio beta espacio igual espacio fracción c entre a espacio igual espacio s e n espacio alfa

s e n espacio beta espacio igual espacio fracción b entre a espacio igual espacio c o s espacio alfa

t g espacio beta espacio igual espacio fracción b entre c espacio igual espacio fracción numerador 1 entre denominador estilo mostrar fracción c entre b fin estilo fin fracción espacio igual espacio fracción numerador 1 entre denominador t g espacio alfa fin fracción

Como ves, en un triángulo rectángulo los senos y cosenos de α y β están siempre intercambiados. Y por esta razón, sus tangentes son inversas la una de la otra. ¿No te habías dado cuenta hasta ahora?

¡Por cierto!, es posible que en algún lugar veas que a la inversa de una tangente la llaman cotangente. No te preocupes, es solo otro nombre para lo mismo: $fracción numerador 1 entre denominador t g espacio alfa fin fracción espacio igual espacio c o t g espacio alfa$

Si dos ángulos, en lugar de 90°, suman 180°, dirás con convicción que son suplementarios. En esta ocasión te será muy útil la circunferencia goniométrica. Si representas los dos ángulos y trasladas uno de ellos para comprobar que efectivamente suman 180°, puedes observar cómo sus senos son iguales y sus cosenos son opuestos:

Si $alfa espacio más espacio beta espacio igual espacio 180 º espacio dos puntos$

$s e n espacio beta espacio igual espacio s e n espacio alfa$

$c o s espacio beta espacio igual espacio menos c o s espacio alfa$

$t g espacio beta espacio igual espacio fracción numerador s e n espacio alfa entre denominador menos c o s espacio alfa fin fracción espacio igual espacio menos t g espacio alfa$

¿Te atreves a deducir las relaciones que hay entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos? Los ángulos opuestos suman 360°. Prueba a seguir el mismo procedimiento que en el caso anterior y dibújatelos en una circunferencia goniométrica.

Si β + α = 360° y dibujas β en la circunferencia goniométrica con un lado coincidente en el eje X y en la dirección contraria a las agujas del reloj, verás que falta justo un ángulo α para completar la circunferencia. Así, los cosenos de α y β coinciden y los senos son opuestos:

s e n espacio beta espacio igual espacio menos s e n espacio alfa

c o s espacio beta espacio igual espacio c o s espacio alfa

t g espacio beta espacio igual espacio fracción numerador menos s e n espacio alfa entre denominador c o s espacio alfa fin fracción espacio igual espacio menos t g espacio alfa

¿Te hemos hecho un lío con tantos casos distintos? Si es así, ten paciencia. En el siguiente GeoGebra puedes probarlos todos una y otra vez. Elige el tipo de ángulos que quieres estudiar (complementarios, suplementarios u opuestos) y desliza el ángulo rojo.

Prueba a mover el ángulo por toda la circunferencia. Obtén todos los ángulos distintos que puedas para cada caso. Observa bien la relaciones entre las razones trigonométricas.

¿Cómo se comportan los ángulos cuando vas deslizando? ¿Eres capaz de sacar alguna simetría que cumpla cada tipo de ángulos representado en la circunferencia goniométrica? ¡Tal vez te ayude a ver cómo se relacionan sus razones!

Geogebra

¿Qué crees que puede pasar con los ángulos que son mayores de 360°? Ya sabes algo de la secuencia anterior. ¿Puedes dibujarlos en la circunferencia goniométrica? ¡Prueba a ver!

¿Lo has probado? Si lo has hecho habrás visto que tienes que dar varias vueltas a la circunferencia. Por tanto, el ángulo mayor de 360° representado se puede reducir a otro ángulo equivalente, que consiste en el ángulo α que queda una vez dadas las vueltas completas necesarias.

¿Cómo podrías explicar a tu profe esto mismo pero más matemáticamente?

Cada vuelta son 360°. El ángulo equivalente es lo que resta de dividir el ángulo entre 360°. Por tanto:

Las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360° son las mismas que las de un ángulo de amplitud el resto que obtienes al hacer la división entera del ángulo entre 360°.

Un ángulo negativo muy grande es equivalente al caso anterior pero dado la vuelta. Como es negativo, estamos dando vueltas en el sentido contrario. Por esto, el resto de dividir el ángulo positivo entre 360°, se lo tenemos que restar a 360°. Así obtenemos un ángulo con razones trigonométricas equivalentes.

¿Cuál es el seno y el coseno de −1410°?

Hacemos la división entera del ángulo con signo positivo entre 360.

$división larga con pila en la izquierda por 360 produce 3 pila 1410 ninguno 330 fin pila fin división larga$

Esto quiere decir que para representarlo en la circunferencia goniométrica damos 3 vueltas en sentido horario y nos sobran 330°.

360° – 330° = 30°

$s e n espacio abrir paréntesis menos 1410 º cerrar paréntesis espacio igual espacio s e n espacio 30 º espacio igual espacio 1 medio$

$c o s espacio paréntesis izquierdo menos 1410 º paréntesis derecho espacio igual espacio c o s espacio 30 º espacio igual espacio fracción numerador raíz cuadrada de 3 entre denominador 2 fin fracción$

¿Qué piensas de los ángulos mayores de 360° y de los ángulos negativos? ¿Te das cuenta de que estudiarlos es muy parecido a cuando en la anterior secuencia redujiste ángulos al primer cuadrante? Te lo desglosamos en casos sencillos pero… ¡todo es lo mismo! Si manejas con soltura los conceptos fundamentales de la circunferencia goniométrica podrás con las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Razones trigonométricas suplementarias y opuestas

Razones trigonométricas de ángulos mayores de 360°

Razones trigonométricas de ángulos negativos

Si $alfa espacio más espacio beta espacio igual espacio 90 º espacio dos puntos$

s e n espacio beta espacio igual espacio c o s espacio alfa

c o s espacio beta espacio igual espacio s e n espacio alfa

t g espacio beta espacio igual espacio fracción numerador 1 entre denominador t g espacio alfa fin fracción

Si $alfa espacio más espacio beta espacio igual espacio 180 º espacio dos puntos$

s e n espacio beta espacio igual espacio s e n espacio alfa

c o s espacio beta espacio igual espacio menos c o s espacio alfa

t g espacio beta espacio igual espacio fracción numerador s e n espacio alfa entre denominador menos c o s espacio alfa fin fracción espacio igual espacio menos t g espacio alfa

Si $alfa espacio más espacio beta espacio igual espacio 360 º espacio dos puntos$

s e n espacio beta espacio igual espacio menos s e n espacio alfa

c o s espacio beta espacio igual espacio c o s espacio alfa

t g espacio beta espacio igual espacio fracción numerador menos s e n espacio alfa entre denominador c o s espacio alfa fin fracción espacio igual espacio menos t g espacio alfa

Las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360° son las mismas que las de un ángulo que tiene de amplitud el resto que obtienes al hacer la división entera del ángulo entre 360°.

Las razones trigonométricas de un ángulo negativo las puedes calcular haciendo la división entera del ángulo con signo positivo entre 360° y quedándote con el resto. Después, se lo restas a 360°. Las razones trigonométricas de esa diferencia coinciden con las del ángulo negativo.

RESUMEN - Relaciones entre razones trigonométricas de ciertos ángulos

En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos α vale 0,9848. ¿Sabrías calcular con este dato las razones trigonométricas del otro ángulo agudo?

s e n espacio beta espacio igual espacio

c o s espacio beta espacio igual

t g espacio beta espacio igual

¿Te crees capaz de calcular las razones trigonométricas de este ángulo? ¿Cómo?

−1125°

(0 palabras)

¿Cómo calculas las siguientes razones trigonométricas si sabes que sen 35° = 0,57?

cos 1655° =

sen 1585° =

sen 1765° =

cos 1565° =

Utiliza una calculadora para hallar las razones trigonométricas de 35°. ¿Sabes calcular a partir de ellas las razones trigonométricas de estos tres ángulos?

Su ángulo complementario.
Su ángulo suplementario.
Su ángulo opuesto.

(0 palabras)

¿Cuáles son las razones trigonométricas de 420°?

Con los conocimientos que acabas de adquirir, ¿puedes encontrar dos ángulos mayores de 360° y otros dos ángulos negativos que tengan todos las mismas razones trigonométricas? Si puedes, ¿sabes calcular sus razones trigonométricas relacionándolas con un ángulo del primer cuadrante?

(0 palabras)

¿Cómo se te ocurre calcular las razones trigonométricas de −1060°?

(0 palabras)

¿Sabrías expresar estas razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante?

sen 1200° =

cos 870° =

sen 930° =

cos 1770° =

¿Cuánto valen estas tangentes si sabes que tg 35° = 0,7?

0,7

−0,7

¿Cómo calculas las razones trigonométricas de 65°, 155° y 335° sabiendo que sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 y tg 25° = 0,47?

	65º	155º	335º
sen
cos
tg

¿Sabes relacionar las razones trigonométricas de estos ángulos con las de un ángulo entre 0° y 360°?

sen 390º = sen º	cos 480º = cos º	tg 585º = tg º
sen 405º = sen º	cos 690º = cos º

¿Cómo se expresan estas razones trigonométricas en función de ángulos del primer cuadrante menores de 45°?

cos 960º
sen 600º
cos 2145º
sen 1120º

−cos 30°
cos 15°
sen 40°
−sen 30º

,
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A continuación te mostramos el tiempo empleado y el número de aciertos.

Tiempo empleado

Calificación

	Con ello trabajará la Competencia matemática y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería, ya que utilizará apoyos adecuados, incluidos gráficos estadísticos y de datos, y utilizará y manejará herramientas y máquinas tecnológicas. Además de aplicar principios y procesos matemáticos básicos o comprender demostraciones matemáticas, por supuesto.
	El alumnado podrá transformar, compartir y crear nuevos contenidos utilizando herramientas digitales adecuadas (Competencia digital).
	Al trabajar con este recurso digital, el alumnado deberá demostrar que es capaz de ser flexible, autónomo, motivado y responsable (Competencia emprendedora).
	Además, si el alumnado genera sus propios recursos geogebra, podrá participar en proyectos creativos, tanto individual como colectivamente (Competencia en conciencia y expresión culturales).

	Será capaz de utilizar una amplia variedad de vocabulario (Competencia en comunicación lingüística). Deberá comprender, utilizar y reflexionar sobre textos escritos, con el fin de extraer sus objetivos, desarrollar conocimientos y participar en la sociedad (Competencia en comunicación lingüística). Tendrá que analizar, razonar y comuncarse eficazmente (Competencia en comunicación lingüística). Compartirá e intercambiará información, conocimientos e ideas de forma respetuosa (Competencia en comunicación lingüística).
	Deberá organizar y utilizar eficazmente recursos y servicios digitales (Competencia digital). Tendrá que interactuar de forma efectiva con software, dispositivos e inteligencia artificial (Competencia digital).
	Deberá gestionar el tiempo y la información eficazmente, trabajar con los demás de forma constructiva, reflexionar sobre ellos mismos y mantenerse flexible y con la mente abierta, incluso en situaciones de aprendizaje inciertas y exigentes (Competencia personal, social y de aprender a aprender).

	Interactuar de manera efectiva y respetuosa con los demás en espacios públicos, participar de forma constructiva en actividades comunes y en procesos democráticos de toma de decisiones (Competencia ciudadana).
	Actuar ante las oportunidades e ideas y transformarlas en valores para los demás, además de tomar la iniciativa y perseverar (Competencia emprendedora).
	Por último, interpretar y expresar ideas, emociones y experiencias con empatía, y participar en procesos creativos, tanto individual como colectivamente (Competencia en conciencia y expresión culturales).

	Estas actividades les permitirá reflexionar sobre ellos mismos (Competencia personal, social y de aprender a aprender) y sobre su propio aprendizaje.
	Además, les permitirá identificar oportunidades de desarrollo personal (Competencia en conciencia y expresión culturales).

FAQ

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¡Bien vertical!

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

A lo largo de toda la secuencia el alumnado tendrá la oportunidad de trabajar la Competencia matemática y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería:

Deberá aplicar principios y procesos matemáticos básicos.

Deberá comprender demostraciones matemáticas.

Deberá utilizar apoyos adecuados, incluidos gráficos estadísticos y datos.

Por supuesto, el alumnado trabajará otras competencias clave:

Será capaz de utilizar una amplia variedad de vocabulario (Competencia en comunicación lingüística).

Deberá comprender, utilizar y reflexionar sobre textos escritos, con el fin de extraer sus objetivos, desarrollar conocimientos y participar en la sociedad (Competencia en comunicación lingüística).

Tendrá que analizar, razonar y comuncarse eficazmente (Competencia en comunicación lingüística).

Compartirá e intercambiará información, conocimientos e ideas de forma respetuosa (Competencia en comunicación lingüística).

Deberá organizar y utilizar eficazmente recursos y servicios digitales (Competencia digital).

Tendrá que interactuar de forma efectiva con software, dispositivos e inteligencia artificial (Competencia digital).

Deberá gestionar el tiempo y la información eficazmente, trabajar con los demás de forma constructiva, reflexionar sobre ellos mismos y mantenerse flexible y con la mente abierta, incluso en situaciones de aprendizaje inciertas y exigentes (Competencia personal, social y de aprender a aprender).

Dado que el trabajo del alumnado se desarrollará mayoritariamente en el aula, deben aprender a:

Interactuar de manera efectiva y respetuosa con los demás en espacios públicos, participar de forma constructiva en actividades comunes y en procesos democráticos de toma de decisiones (Competencia ciudadana).

Actuar ante las oportunidades e ideas y transformarlas en valores para los demás, además de tomar la iniciativa y perseverar (Competencia emprendedora).

Por último, interpretar y expresar ideas, emociones y experiencias con empatía, y participar en procesos creativos, tanto individual como colectivamente (Competencia en conciencia y expresión culturales).

Razones trigonométricas de ángulos suplementarios

Razones trigonométricas de ángulos opuestos

Si β + α = 360° y dibujas β en la circunferencia goniométrica con un lado coincidente en el eje X y en la dirección contraria a las agujas del reloj, verás que falta justo un ángulo α para completar la circunferencia. Así, los cosenos de α y β coinciden y los senos son opuestos:

¡Exprime todas las posibilidades!

Con estos recursos Geogebra se pretende que el alumnado investigue algunas propiedades o características de elementos matemáticos concretos.

El alumnado podrá transformar, compartir y crear nuevos contenidos utilizando herramientas digitales adecuadas (Competencia digital).

Al trabajar con este recurso digital, el alumnado deberá demostrar que es capaz de ser flexible, autónomo, motivado y responsable (Competencia emprendedora).

Además, si el alumnado genera sus propios recursos geogebra, podrá participar en proyectos creativos, tanto individual como colectivamente (Competencia en conciencia y expresión culturales).

¿Y los ángulos mayores de 360°?

Cada vuelta son 360°. El ángulo equivalente es lo que resta de dividir el ángulo entre 360°. Por tanto:

Razones trigonométricas de ángulos negativos

Hacemos la división entera del ángulo con signo positivo entre 360.

Esto quiere decir que para representarlo en la circunferencia goniométrica damos 3 vueltas en sentido horario y nos sobran 330°.

360° – 330° = 30°

¿Qué has aprendido?

Para practicar más

Entrénate

Este tipo de actividades Entrénate no son evaluables, aunque sí son trazables. La propuesta pretende fomentar que el alumnado pierda el miedo al error, experimentando con ellas que puede equivocarse sin que su evaluación se vea comprometida.

Estas actividades les permitirá reflexionar sobre ellos mismos (Competencia personal, social y de aprender a aprender) y sobre su propio aprendizaje.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Relaciones entre razones trigonométricas de ciertos ángulos