Àrees de cossos geomètrics

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682250/rec_pm_365941_pantalla_63073_mov.mp4?idcurso=4519098

ESPM000365941sub

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682254/rec_pm_306069_pantalla_49099_mov_20210920220949.mp4?idcurso=4519098

ESPM000306069sub

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682258/rec_pm_306068_pantalla_49098_mov_20210929133302.mp4?idcurso=4519098

ESPM000306068sub

Inventa infinits prismes i piràmides fent lliscar els punts vermells i posa a prova els teus càlculs d'àrees!

Com són les bases dels prismes i les piràmides que pots crear en aquest GeoGebra?

GeoGebra

Ara que saps trobar en un tres i no res l'àrea d'un prisma i d'una piràmide, has desblocat un altre poder: trobar l'àrea d'un poliedre.

Efectivament, ja tens les eines i els coneixements per aconseguir l'àrea de qualsevol poliedre. No t'ho creus? Doncs mira aquest exemple.

Com trobem l'àrea d'aquest cos geomètric?

En casos com aquest, abans de res has de poder destriar la figura en diferents poliedres més senzills i petits. En aquest cas, aquest cos geomètric està format per dues piràmides, oi?

Una està invertida, i l'altra no ho està. Totes dues comparteixen la base. I què passa amb la base? Quan et demanin l'àrea d'un poliedre, tingues en compte que fan referència únicament a l'àrea de la superfície del cos, és a dir, la part de fora. La base d'aquestes piràmides és a troba dintre del cos, per tant no hem de trobar-ne l'àrea! Tan sols necessitaràs les àrees laterals de les piràmides.

Si et fixes bé en la piràmide de dalt i en calcules l'apotema (sempre amb Pitàgores!):

$a espacio igual espacio raíz cuadrada de 3 al cuadrado espacio más espacio 2 al cuadrado fin raíz espacio igual espacio 3 coma 61 espacio cm$

$A subíndice Lateral espacio igual espacio fracción numerador P subíndice Base espacio por espacio a entre denominador 2 fin fracción espacio igual espacio fracción numerador 4 espacio por espacio 4 espacio por espacio 3 coma 61 entre denominador 2 fin fracción espacio igual espacio 28 coma 88 espacio cm al cuadrado$

I si et fixes en la piràmide invertida i en calcules l'apotema (endevines amb què?):

$a espacio igual espacio raíz cuadrada de 5 coma 74 al cuadrado espacio menos espacio 2 al cuadrado fin raíz espacio igual espacio 5 coma 38 espacio cm$

$A subíndice Lateral espacio igual espacio fracción numerador P subíndice Base espacio por espacio a entre denominador 2 fin fracción espacio igual espacio fracción numerador 4 espacio por espacio 4 espacio por espacio 5 coma 38 entre denominador 2 fin fracción espacio igual espacio 43 coma 04 espacio cm al cuadrado$

Suma les dues àrees laterals i tindràs l'àrea total de la figura:

$A espacio igual espacio 28 coma 88 espacio más espacio 43 coma 04 espacio igual espacio negrita 71 negrita coma negrita 92 negrita espacio negrita cm elevado a negrita 2$

Quina és l'àrea d'un cub de 2 cm de costat?

A = cm²

Pots calcular l'àrea d'aquestes figures? No t'oblidis d'arrodonir tots els resultats a les centèsimes.



A = cm²	A = cm²

Recordes com es dibuixa el desenvolupament pla d'una piràmide d'apotema 4 cm i base un quadrat de 6 cm de costat? Pots calcular-ne l'àrea?

A = cm²

Quina és l'àrea d'aquest desenvolupament pla?

A = cm²

Quina és l'àrea d'aquest poliedre?

A = cm²

I l'àrea d'aquest altre?

A = cm²

Estem completament segurs que recordes perfectament els cossos de revolució. Si de cas, rememorem-los un per un. I quin és el més senzill? El cilindre!

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682298/rec_pm_307688_pantalla_49560_mov_20210920221443.mp4?idcurso=4519098

ESPM000307688sub

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682302/rec_pm_307687_pantalla_49559_mov_20210920221357.mp4?idcurso=4519098

ESPM000307687sub

/useruploads/ctx/a/461138782/r/s/139682306/rec_pm_307686_pantalla_49558_mov_20210929133425.mp4?idcurso=4519098

ESPM000307686sub

Cilindre, con i esfera són els cossos de revolució més importants. Això no obstant, també coneixes altres figures: les que s'obtenen en tallar una esfera.

Sabries deduir quines són les expressions per calcualr l'àrea d'un casquet esfèric, una zona esfèrica i un fus esfèric? Fes un dibuix de cada figura, obtén una expressió per a l'àrea i després comprova'n el resultat desplegant la pestanya corresponent.

Què t'ha semblat? Ho has encertat?

Quina és l'àrea d'aquests cossos de revolució?

Una esfera d'1 cm de radi.
Un cilindre de 2 cm d'altura i una base de radi 5 cm.
Un fus esfèric de 2 cm de radi i un angle de 30°.
Un con de 4 cm d'altura i base de radi 2 cm.

219,8 cm²
12,56 cm²
4,19 cm²
40,63 cm²

Troba l'àrea de cada cos de revolució.


A = cm²	A = cm²

Ja vas veure en la seqüència anterior que per a figures i cossos més complicats l'estratègia adequada és sempre anar del que és més senzill al més complex. Ja coneixes la part senzilla. Fixa't en aquest exemple per aprendre a aplicar-lo a la part complexa:

Tens un estoig en forma de llapis gegant. Com trobem l'àrea de la tela de la superfície?

Es fàcil descompondre la figura en d'altres de més senzilles. Una semiesfera, un cilindre i un con (però sense les bases!):

Hi ha dues maneres de tractar l'àrea de la semiesfera. Se t'acuden quines?

Una és dividir l'àrea d'una esfera entre 2:

$A subíndice Semiesfera espacio igual espacio 1 medio espacio 4 pi r al cuadrado espacio igual espacio 2 pi espacio por espacio 1 al cuadrado espacio igual espacio 2 pi espacio igual espacio 6 coma 28 espacio cm al cuadrado$

Però una semiesfera també és un casquet esfèric d'altura h igual al radi. Així doncs, una altra manera és:

$A subíndice Semiesfera espacio igual espacio 2 pi r h espacio igual espacio 2 pi r al cuadrado igual espacio 2 pi espacio por espacio 1 al cuadrado espacio igual espacio 2 pi espacio igual espacio 6 coma 28 espacio cm al cuadrado$

Els resultats són els mateixos!

Per al cilindre només necessitem l'àrea lateral:

$A subíndex Lateral espai cilindre fi subíndex espai igual espai 2 pi r h espai igual espai 2 pi espai per espai 1 espai per espai 5 espai igual espai 10 pi espai igual espai 31 coma 4 espai cm al quadrat$

Passa el mateix amb el con. Abans, però, cal trobar-ne la generatriu, g:

$g espacio igual espacio raíz cuadrada de 2 al cuadrado espacio más espacio 1 al cuadrado fin raíz espacio igual espacio 2 coma 24 espacio cm$

$A subíndex Lateral espai con fi subíndex espai igual espai pi r g espai igual espai pi espai per espai 1 espai per espai 2 coma 24 espai igual espai 7 coma 03 espai cm al quadrat$

Per tant, l'àrea total serà:

$A subíndex Total espai igual espai A subíndex Semiesfera espai més espai A subíndex Lateral espai cilindre fi subíndex espai més espai A subíndex Lateral espai con fi subíndex$

$A subíndice Total espacio igual espacio fino 6 coma 28 espacio más espacio 31 coma 4 espacio más espacio 7 coma 03 espacio igual espacio negrita 44 negrita coma negrita 71 negrita espacio bold italic c bold italic m elevado a negrita 2$

Què ha passat amb les bases en l'exemple anterior?

Que no les hem calculades perquè no són necessàries. Com també has vist amb els poliedres, en els cossos formats per diverses figures, les figures acostumen a estar unides per les bases. Per tant, només cal calcular les àrees laterals.

Quan les figures són cossos de revolució, això passa amb més raó. Si les cares laterals són corbes, no és gaire comú que els cossos estiguin units per aquestes cares. Però no te'n refiïs. Fixa't bé sempre en quines superfícies has de trobar i en quines no cal.

Quina és l'àrea d'aquest cos de revolució?

A = cm²

T'has comprat un gelat de cucurutxo d'una sola bola. Després de menjar-te'l l'has representat amb aquest dibuix. Saps calcular l'àrea del cos geomètric resultant?

A = cm²

Estàs jugant amb uns amics a un videojoc de preguntes, com en aquells concursos que fan a la tele. Per poder respondre cal prémer un polsador que té la forma següent. Saps calcular-ne l'àrea?

A = cm²

Àrea de cossos geomètrics

Àrea de cossos de revolució

Les expressions per calcular l'àrea d'un prisma i d'una piràmide són:

$bold italic A subíndice negrita Prisma negrita espacio negrita igual negrita espacio bold italic A subíndice negrita Lateral negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 2 negrita espacio negrita por negrita espacio bold italic A subíndice negrita Base negrita espacio negrita igual negrita espacio bold italic P subíndice negrita Base negrita espacio negrita por negrita espacio bold italic h negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 2 negrita espacio negrita por negrita espacio bold italic A subíndice negrita Base$

$bold italic A subíndex negreta Piràmide negreta espai negreta igual negreta espai bold italic A subíndex negreta Lateral negreta espai negreta més negreta espai bold italic A subíndex negreta Base negreta espai negreta igual negreta espai fracció numerador bold italic P subíndex negreta Base negreta espai negreta per negreta espai bold italic alfa entre denominador negreta 2 fi fracció negreta espai negreta més negreta espai bold italic A subíndex negreta Base$

Cilindre	Con	Esfera

$Error converting from MathML to accessible text.$	$Error converting from MathML to accessible text.$	$bold italic A subíndice negrita Esfera negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita 4 bold italic pi bold italic r elevado a negrita 2$

Casquet	Zona	Fus

$bold italic A subíndex negreta Casquet negreta espai negreta igual negreta espai negreta 2 bold italic pi bold italic r bold italic h$	$bold italic A subíndice negrita Zona negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita 2 bold italic pi bold italic r bold italic h$	$bold italic A subíndex negreta Fus negreta espai negreta igual negreta espai negreta 4 bold italic pi bold italic r elevat a negreta 2 negreta espai negreta per negreta espai fracció negreta alfa entre negreta 360$

RESUM - Àrees de cossos geomètrics

Quina és l'àrea d'aquest prisma?

A = cm²

Saps trobar l'àrea d'aquest poliedre?

A = cm²

Quina és l'àrea corresponent a cadascun d'aquests cossos?

Piràmide amb apotema de 3 cm i base quadrada de 4 cm de costat.
Un cilindre de 3 cm d'altura i radi de 2 cm.
Una piràmide amb apotema de 3 cm la base de la qual és un pentàgon de 3 cm de costat i apotema 2,06 cm.
Con de 4 cm de radi i generatriu de 6 cm.
Cilindre amb 3 cm de radi i 2 cm d'altura.
Piràmide hexagonal amb apotema de 6 cm i aresta bàsica de 2 cm.
Con de 2 cm de radi i 1,5 cm d'altura.
Cilindre de 4 cm de radi i 8 cm d'altura.
Un con amb un radi de 4 cm i una generatriu de 5 cm.
Un cilindre amb radi d'1 cm i l'altura és d'1 cm.
Piràmide hexagonal amb apotema de 4 cm i aresta de la base de 5 cm.
Un con amb altura de 12 cm i el radi és de 5 cm.

113,04 cm²
28,26 cm²
301,44 cm²
12,56 cm²
46,38 cm²
62,8 cm²
94,2 cm²
40 cm²
37,95 cm²
125,6 cm²
282,6 cm²
124,95 cm²

Saps calcular l'àrea d'aquest cos?

A = cm²

Ets capaç de trobar l'àrea d'aquest poliedre?

A = cm²

Pots calcular l'àrea d'aquesta figura?

A = cm²

I la d'aquesta altra?

A = cm²

,
has completat el tema!

A continuació et mostrem el temps emprat i el nombre d'encerts.

Temps emprat

Qualificació

	L'alumnat treballarà la Competència matemàtica i competència en ciència, tecnologia i enginyeria, ja que farà servir elements de suport adequats, inclosos gràfics estadístics i de dades, i farà servir eines i màquines tecnològiques. Per descomptat, també aplicarà principis i processos matemàtics bàsics o comprendrà demostracions matemàtiques.
	Podrà transformar, compartir i crear nous continguts fent servir eines digitals adequades (Competència digital).
	Quan treballi amb aquest recurs digital, l'alumnat haurà de demostrar que és capaç de ser flexible, autònom i responsable (Competència emprenedora).
	Si l'alumnat genera els seus propis recursos Geogebra, podrà participar en projectes creatius, tant individualment com col·lectivament (Competència en consciència i expressió culturals).

	Fer servir un vocabulari adient i variat (Competència en comunicació lingüística). Entendre i fer servir textos escrits, i pensar-hi, amb la finalitat d'assolir els objectius, desenvolupar coneixements i participar activament en la societat (Competència en comunicació lingüística). Analitzar situacions, pensar-hi de manera raonada i comunicar-se eficaçment (Competència en comunicació lingüística). Compartir i intercanviar informació, coneixements i idees de manera respectuosa (Competència en comunicació lingüística).
	Organitzar i utilitzar eficaçment recursos i serveis digitals (Competència digital). Interactuar de manera efectiva amb programari, dispositius i intel·ligència artificial (Competència digital).
	Gestionar el temps i la informació eficaçment, treballar amb els companys de manera constructiva, pensar sobre ells mateixos i mantenir-se flexible i amb la ment oberta, fins i tot en situacions d'aprenentatge incertes i exigents (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre).

	Interactuar de manera efectiva i respectuosa amb els altres en espais públics, i participar constructivament en activitats comunes i en processos democràtics de presa de decisions (Competència ciutadana).
	Actuar davant de les oportunitats i idees, i transformar-les en valors per als altres, a més de prendre la iniciativa i perseverar (Competència emprenedora).
	Interpretar i expressar idees, emocions i experiències amb empatia, i participar en processos creatius, tant individualment com col·lectivament (Competència en consciència i expressió culturals).

	Reflexionar sobre ell mateix (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre) i sobre el propi procés d'aprenentage.
	Identificar oportunitats de desenvolupament personal (Competència en consciència i expressió culturals).

	Les pantalles Pensa-hi una mica tenen la finalitat que l'alumnat desenvolupi les competències d'analitzar, raonar i comunicar-se amb eficàcia (Competència en comunicació lingüística).
	A més, fan que es mantingui sempre flexible i amb la ment oberta, fins i tot en situacions d'aprenentatge incertes i exigents (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre).

Com podem ajudar-te?

No has solucionat el teu dubte?

Descriu el més detalladament possible el teu dubte. Indica'ns el llibre, la classe, el dispositiu d'accés, el codi de llicència, l'usuari afectat i el navegador o si et succeeix a l'app:

Manejant superfícies tot el dia

Em sona, això dels prismes

En aquesta seqüència, l'alumnat treballarà la Competència matemàtica i competència en ciència, tecnologia i enginyeria. En concret, haurà de fer el següent:

Aplicar principis i processos matemàtics bàsics.

Comprendre demostracions matemàtiques.

Fer servir elements de suport adequats, inclosos gràfics estadístics i dades diverses.

Altres competències clau que es treballaran en aquesta seqüència són aquestes:

Fer servir un vocabulari adient i variat (Competència en comunicació lingüística).

Entendre i fer servir textos escrits, i pensar-hi, amb la finalitat d'assolir els objectius, desenvolupar coneixements i participar activament en la societat (Competència en comunicació lingüística).

Analitzar situacions, pensar-hi de manera raonada i comunicar-se eficaçment (Competència en comunicació lingüística).

Compartir i intercanviar informació, coneixements i idees de manera respectuosa (Competència en comunicació lingüística).

Organitzar i utilitzar eficaçment recursos i serveis digitals (Competència digital).

Interactuar de manera efectiva amb programari, dispositius i intel·ligència artificial (Competència digital).

Gestionar el temps i la informació eficaçment, treballar amb els companys de manera constructiva, pensar sobre ells mateixos i mantenir-se flexible i amb la ment oberta, fins i tot en situacions d'aprenentatge incertes i exigents (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre).

Atès que el treball de l'alumnat es desenvoluparà sobretot a l'aula, haurà d'aprendre a:

Interactuar de manera efectiva i respectuosa amb els altres en espais públics, i participar constructivament en activitats comunes i en processos democràtics de presa de decisions (Competència ciutadana).

Actuar davant de les oportunitats i idees, i transformar-les en valors per als altres, a més de prendre la iniciativa i perseverar (Competència emprenedora).

Interpretar i expressar idees, emocions i experiències amb empatia, i participar en processos creatius, tant individualment com col·lectivament (Competència en consciència i expressió culturals).

I si només tens una base?

Posa't a prova!

Els recursos GeoGebra tenen la finalitat que l'alumnat investigui algunes propietats o característiques d'elements matemàtics concrets.

Podrà transformar, compartir i crear nous continguts fent servir eines digitals adequades (Competència digital).

Quan treballi amb aquest recurs digital, l'alumnat haurà de demostrar que és capaç de ser flexible, autònom i responsable (Competència emprenedora).

Si l'alumnat genera els seus propis recursos Geogebra, podrà participar en projectes creatius, tant individualment com col·lectivament (Competència en consciència i expressió culturals).

Àrea de poliedres desblocada!

En casos com aquest, abans de res has de poder destriar la figura en diferents poliedres més senzills i petits. En aquest cas, aquest cos geomètric està format per dues piràmides, oi?

Si et fixes bé en la piràmide de dalt i en calcules l'apotema (sempre amb Pitàgores!):

I si et fixes en la piràmide invertida i en calcules l'apotema (endevines amb què?):

Suma les dues àrees laterals i tindràs l'àrea total de la figura:

Entrena't

Reflexionar sobre ell mateix (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre) i sobre el propi procés d'aprenentage.

Juguem una mica amb els poliedres

Recordes els cossos de revolució?

Un cos un pèl més complicat

Un globus, una pilota, una bola o... una esfera

I les figures esfèriques?

Entrena't

Totes alhora

Es fàcil descompondre la figura en d'altres de més senzilles. Una semiesfera, un cilindre i un con (però sense les bases!):

Hi ha dues maneres de tractar l'àrea de la semiesfera. Se t'acuden quines?

Una és dividir l'àrea d'una esfera entre 2:

Però una semiesfera també és un casquet esfèric d'altura h igual al radi. Així doncs, una altra manera és:

Els resultats són els mateixos!

Per al cilindre només necessitem l'àrea lateral:

Passa el mateix amb el con. Abans, però, cal trobar-ne la generatriu, g:

Per tant, l'àrea total serà:

Pensa-hi una mica

Les pantalles Pensa-hi una mica tenen la finalitat que l'alumnat desenvolupi les competències d'analitzar, raonar i comunicar-se amb eficàcia (Competència en comunicació lingüística).

A més, fan que es mantingui sempre flexible i amb la ment oberta, fins i tot en situacions d'aprenentatge incertes i exigents (Competència personal, social i d'aprendre a aprendre).

Que no les hem calculades perquè no són necessàries. Com també has vist amb els poliedres, en els cossos formats per diverses figures, les figures acostumen a estar unides per les bases. Per tant, només cal calcular les àrees laterals.

Quan les figures són cossos de revolució, això passa amb més raó. Si les cares laterals són corbes, no és gaire comú que els cossos estiguin units per aquestes cares. Però no te'n refiïs. Fixa't bé sempre en quines superfícies has de trobar i en quines no cal.

Entrena't

El vull de maduixa!

És el teu torn!

Què has après?

Per practicar més

Entrena't

Au, unes quantes figures més